2016　東京理科大学　理工学部B方式2月4日実施MathJax

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ン}}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表しなさい．

(1)　$a_1=-400$から$2$ずつ増えて行く数列$\{a_k\}$を次のような群に分け，第$n$群には$n$個の数が入るようにする．

$\begin{array}{ccccccccc}{a}_1& |& a_2,a_3& |& a_4,a_5,a_6& |& a_7,a_8,a_9,a_{10}& |& \cdots \\ \text{第}1\text{群}& & \text{第}2\text{群}& & \text{第}3\text{群}& & \text{第}4\text{群}& & \end{array}$

ただし

$a_1=-400\text{，}{a}_2=-398\text{，}{a}_3=-396\text{，}\cdots$

このとき，第$1$群から第$9$群までに入る数の個数は$\boxed{\text{ア}\text{イ}}$個であり，第$10$群の最初の数は$-\boxed{\text{ウ}\text{エ}\text{オ}}$である．また，第$10$群に入るすべての数の和は$-\boxed{\text{カ}\text{キ}\text{ク}\text{ケ}}$である．さらに，第$n$群の最初の数は$n^2-n-\boxed{\text{コ}\text{サ}\text{シ}}$である．$a_k=0$となるのは$k=\boxed{\text{ス}\text{セ}\text{ソ}}$のときである．また$a_k=0$となる$a_k$は第$\boxed{\text{タ}\text{チ}}$群の第$\boxed{\text{ツ}\text{テ}}$番目である．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ン}}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表しなさい．

(2)　赤玉$1$個，白玉$2$個，黒玉$3$個が入っている袋がある．この袋から玉を$1$個取り出し，色を見てからもとの袋へもどす操作を行う．

(a)　操作を$3$回行うとき，白玉がちょうど$2$回出る確率は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}$

である．

以下では，操作を$k$回行う．ただし，$k\geqq 2$とする．

(b)　白玉が$(k-1)$回以上出る確率は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}k+\boxed{\text{ヌ}}}{{\boxed{\text{ネ}}}^k}}$

である．

(c)　少なくとも$2$回は黒玉が出る確率は

${\displaystyle \frac{{\boxed{\text{ノ}}}^k-k-\boxed{\text{ハ}}}{{\boxed{\text{ヒ}}}^k}}$

である．

(d)　$l$回目（$l=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}k$）の操作に対して，出た目の色に応じて点$w_l$が与えられる．$w_l$は赤玉が出たら$2$点，白玉が出たら$1$点，黒玉が出たら$0$点とする．合計得点$w_1+w_2+\cdots +w_k$が$3$以上となる確率は

$1-{\displaystyle \frac{1}{{\boxed{\text{フ}}}^k}}({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヘ}}}{\boxed{\text{ホ}}}}{k}^2+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{マ}}}{\boxed{\text{ミ}}}}k+\boxed{\text{ム}})$

である．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ン}}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表しなさい．

(3)　$z$を絶対値が$1\text{，}$偏角が${\displaystyle \frac{3\pi }{5}}$の複素数とする．$t=z+{\displaystyle \frac{1}{z}}$とおくと

$t=\boxed{\text{メ}}\cos {\displaystyle \frac{\boxed{\text{モ}}\pi }{\boxed{\text{ヤ}}}}$

となる．また，$z^5=-\boxed{\text{ユ}}$であり，

$z^4-z^3+z^2-z+\boxed{\text{ヨ}}=0$

である．よって

$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ラ}}-\sqrt{\boxed{\text{リ}}}}{\boxed{\text{ル}}}}$

である．また

$z^3+{\displaystyle \frac{1}{z^3}}=\boxed{\text{レ}}\cos {\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{ロ}}}}$

となり

$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{5}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ワ}}+\sqrt{\boxed{\text{ヲ}}}}{\boxed{\text{ン}}}}$

である．

【２】　$\theta$は${\displaystyle \frac{\pi }{6}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$を満たす実数とし，$s=\sqrt{3}\sin 2\theta -\cos 2\theta$とする．座標平面において円$C$を

${(x-s)}^2+{(y-{\displaystyle \frac{1}{s}})}^2={(\sqrt{2+s}-{\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}})}^2+1$

とする．また，$t=\sqrt{3}\sin \theta +\cos \theta$とおく．

(1)　$T$の取り得る値の範囲を求めよ．

(2)　$s$を$t$を用いて表せ．

(3)　$\theta$が与えられた範囲を動くとき，円$C$の面積を最大にする$\theta$の値を${\theta }_m$とする．${\theta }_m$を求めよ．

(4)　$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$とする．点$(x,y)$が円$C$上を動くとき，$x+y$の最小値を求めよ．

【３】　$a$を正の定数とし，$0\leqq x\leqq 1$における関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{a}}(1-x^{a+1}-{(1-x)}^{a+1})$

と定める．$f(x)$の最大値を$m$とする．

(1)　$m$を$a$を用いて表せ．

(2)　$a=2$とし，$b$を定数とする．$0\leqq x\leqq 1$における関数$g(x)$を

$g(x)=f(x)+2m|x-{\displaystyle \frac{1}{2}}|-b$

とする．方程式$g(x)=0$が$0\leqq x\leqq 1$で$4$つの異なる実数解をもつような$b$の範囲を求めよ．

(3)　$a$を正の定数とする．$0\leqq x\leqq 1$において，$y=f(x)$のグラフと

$y=-2m|x-{\displaystyle \frac{1}{2}}|+m$

のグラフで囲まれる図形の面積$S$を求めよ．

(4)　(3)で求めた$S$に対して，$\underset{a\to +0}{\lim }S$を求めよ．