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2016 東京理科大学 理工学部B方式

物理,応用生物科,経営工学科

2月5日実施

(1)〜(3)で配点40点

易□ 並□ 難□

【1】 次の文章中の から までに当てはまる数字 0 9 を求めて,解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい.ただし,分数は既約分数として表しなさい.なお, などは既出の を表す.

(1) 空間ベクトル a= (s, 0,0 ) b =(0 ,t,0 ) c =( 0,0, u) s0 t 0 u0 と,正の定数 p を考える.このとき, s+2 t=p となるよう s t が動くときの | a +b | の最小値を求める.

| a +b |2 = t2 - p t+p2 ( 0t p2 )

より, |a + b | t = p のとき,最小値 p をとる.

 また, s+2 t+3 u=p となるよう s t u が動くとき, |a + b+ c | の最小値は p となる.

2016 東京理科大学 理工学部B方式

物理,応用生物科,経営工学科

2月5日実施

(1)〜(3)で配点40点

易□ 並□ 難□

【1】 次の文章中の から までに当てはまる数字 0 9 を求めて,解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい.ただし,分数は既約分数として表しなさい.なお, などは既出の を表す.

(2)  n を自然数とする.まず f (x )= x3+6 x2 +9x +2 に対し,

S( n)= k=1 nf (k )

を求める. 4 次多項式 F (x )

F( x)- F( x-1) =f( x) F (0) =0

を満たすものを考えると

k= 1n f( k)= k=1 n( F( k)- F( k-1) )

より,

S (n )= 1 ( n4+ n3+ n2+ n)   = 1 n( n+ ) (n+ ) (n + )

をえる.ただし, < < とする.

 次に, g( x)= 12x3 +15 x2- 25x- 14 に対して,同様にして T (n )= k =1n g( k) を求めると

T (n )= n4+ n 3- n 2- n  =n (n+ ) (n + ) ( n- )

となる.ただし, < とする.

 このとき, T( n) S (n ) の倍数となるような自然数 n の最小値は である.

2016 東京理科大学 理工学部B方式

物理,応用生物科,経営工学科

2月5日実施

(1)〜(3)で配点40点

易□ 並□ 難□

【1】 次の文章中の から までに当てはまる数字 0 9 を求めて,解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい.ただし,分数は既約分数として表しなさい.なお, などは既出の を表す.

(3) 以下では C は積分定数を表すものとする.

 部分積分を用いることにより,関数 x3 2 x2+ 3 の不定積分は

x3 2x 2+3 dx = x2 ( 2x 2+3 ) dx  = 1 ( x2- ) 2 x2+3 +C

と求められる.ただし, (2 x2 +3) 2 x2 +3 の導関数を表す.

 同様にして sin4 x1 +sin2 x の不定積分を求める.

sin4 x= ( 1- sin2 x) sinx cosx

に注意すれば

sin4 x1+ sin2 x dx= 3 ( - sin2 x) 1+sin 2x +C

となる.したがって区間 [0 , π4 ] での定積分は

0π4 sin4 x1 +sin2 x dx= ( - )

と求まる.

2016 東京理科大学 理工学部B方式

物理,応用生物科,経営工学科

2月5日実施

配点30点

易□ 並□ 難□

【2】 座標空間において,原点 O と, 3 A ( 1,0, 0) B ( 0,2, 0) C ( 0,0, -3) があり,これら 4 O A B C を頂点とする三角錐を考える.この三角錐を x y 平面上の次で指定する直線の周りに回転する.このとき,回転後の三角錐の z 0 の範囲にある部分の体積を V とし, xy 平面での切り口の面積を S とする.ただし,回転後の三角錐全体が z 0 の範囲にあるときは V =0 とする.

(1) 三角錐 OABC x 軸の周りに回転する.ただし,点 B にある頂点は点 B に移るとして, B z 0 の範囲にあるようにする.このとき, y 軸と辺 OB のなす角度を θ とし, θ 0 θ< π 2 を満たすとする.

(a)  S V θ を用いて表せ.

(b)  V= 12 となる θ α とするとき, tanα の値を求めよ.

(2) 三角錐 OABC を直線 AB の周りに回転する.ただし,原点にある頂点は点 P に移るとして, P z 0 の範囲にあるようにする.面 PAB x y 平面のなす角と θ とし, θ 0 θ< π 2 を満たすとする.

(a) 原点 O から辺 AB に垂線を下し,垂線と AB の交点を H とする.線分 OH の長さを求めよ.

(b)  V=0 となる θ の最小値を β とするとき, tanβ を求めよ.また, 0<θ <β の範囲での V θ を用いて表せ.

2016 東京理科大学 理工学部B方式

物理,応用生物科,経営工学科

2月5日実施

30点

易□ 並□ 難□

【3】 定数 a に対して,

f( x)= x2+ 2a x F (x) =e- f( x)

と定める.ただし, e は自然対数の底である.

 実数 t p に対して座標平面に 3 T ( t,0 ) P (p ,0) Q ( p,F (p )) をとり, TPQ x 軸の周りに 1 回転させてできる立体の体積を V とする.ただし, p=t のときは V =0 とする.

  t を固定して, pt の範囲で p を動かしたとき, V が極値をとる p 2 つある.それらを α β α<β とおき,その極値をそれぞれ, Vα Vβ とする.

(1)  V a t p を用いて表せ.また, α β をそれぞれ a t を用いて表せ.

(2) 積 ( t-α )( t-β ) の値を求めよ.また, t を固定して p を動かすときの V の増減を調べよ.

(3)  log (V α Vβ ) t の多項式として表し,点 T x 軸上を動くときの積 Vα Vβ の最大値を求めよ.ただし, log は自然対数を表す.

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