2016　東京理科大学　理工学部B方式2月6日実施MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ロ}}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表しなさい．なお，$\boxed{\text{ウ}}$などは既出の$\boxed{\text{ウ}}$を表す．

(1)(a)　$x\text{，}y$に関する方程式

$8x^2+24xy+18y^2-6x-9y-20=0\text{①}$

を考える．$A=2x+3y$とおくと，$\text{①}$は

$\boxed{\text{ア}}{A}^2-\boxed{\text{イ}}A-20=0$

と表される．したがって，$x\text{，}y$が整数で$\text{①}$を満たすとすると$A=\boxed{\text{ウ}}$である．これより，$2x+3y=\boxed{\text{ウ}}$を満たす整数の組$(x,y)$のうち，$|x+y|$が最小になるのは$(x,y)=(-\boxed{\text{エ}},\boxed{\text{オ}})$のときで，$|x+y|$が$2$番目に小さくなるのは

$(x,y)=(-\boxed{\text{カ}},\boxed{\text{キ}})\text{，}(-\boxed{\text{ク}},\boxed{\text{ケ}})$

のときである．ただし，$\boxed{\text{キ}}<\boxed{\text{ケ}}$とする．

(b)　$f(n)=n^4-27n^2+121$とすると

$f(n)=(n^2+\boxed{\text{コ}}n+\boxed{\text{サ}\text{シ}})(n^2-\boxed{\text{ス}}n+\boxed{\text{セ}\text{ソ}})$

と因数分解される．したがって，$|f(n)|$が素数となるような自然数$n$はちょうど$\boxed{\text{タ}}$個存在する．また，それら$\boxed{\text{タ}}$個の素数$|f(n)|$の和は$\boxed{\text{チ}\text{ツ}\text{テ}}$である．ただし，素数とは正の約数が$1$とその数自身のみであるような$2$以上の自然数である．

【１】　次の文章中の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ロ}}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表しなさい．なお，$\boxed{\text{ウ}}$などは既出の$\boxed{\text{ウ}}$を表す．

(2)　空間内に四面体$\mathrm{ABCD}$がある．$▵\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{P}$とし，点$\mathrm{D}$から平面$\mathrm{ABC}$に下ろした垂線が平面$\mathrm{ABC}$と交わる点を$\mathrm{H}$とする．このとき，線分$\mathrm{AH}$の上に点$\mathrm{P}$があるものとする．さらに，四面体$\mathrm{ABCD}$の体積が$3\sqrt{5}$であり，

$\mathrm{AB}=4\text{，}\mathrm{BC}=\sqrt{10}\text{，}\mathrm{CA}=3\sqrt{2}\text{，}\mathrm{DA}={\displaystyle \frac{3}{2}}\sqrt{10}$

であるとする．

(a)　$▵\mathrm{ABC}$において，$\cos \angle \mathrm{BAC}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ト}}}}{2}}$であり，$▵\mathrm{ABC}$の面積は$\boxed{\text{ナ}}$である．また，$▵\mathrm{ABC}$の外接円の半径は$\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}$である．

(b)　以下では平面$\mathrm{ADH}$上で考える．体積の条件から$\mathrm{DH}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}\sqrt{\boxed{\text{ネ}}}}{2}}$がわかり，$▵\mathrm{DAH}$において$\mathrm{AH}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}\sqrt{\boxed{\text{ハ}}}}{2}}$だから$\mathrm{PH}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ヒ}}}}{2}}$である．点$\mathrm{P}$を通り直線$\mathrm{AH}$に直交する直線を$l$とし，線分$\mathrm{DA}$の垂直二等分線と$l$の交点を$\mathrm{Q}$とする．

$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=p\overrightarrow{\mathrm{AP}}+q\overrightarrow{\mathrm{AD}}$

とおくと，

$p={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{フ}}}}\text{，}q={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ヘ}}}}\text{，}\mathrm{AQ}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ホ}}}{\boxed{\text{マ}}}}$

がわかる．点$\mathrm{Q}$は$4$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$から同じ距離にあるので，$\mathrm{Q}$を中心とする半径${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ホ}}}{\boxed{\text{マ}}}}$の球面は四面体$\mathrm{ABCD}$に外接していることがわかる．

【１】　次の文章中の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ロ}}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表しなさい．なお，$\boxed{\text{ウ}}$などは既出の$\boxed{\text{ウ}}$を表す．

(3)　複素数$z\text{（}z\ne 0\text{）}$に対して，$w=z+{\displaystyle \frac{1}{z}}$とし，$w=x+yi$（$w$の実部を$x\text{，}$虚部を$y$）とする．ただし，$i$は虚数単位を表すものとする．

(a)　複素数平面上で点$z$が半直線$z=(1+2i)t\text{（}t>0\text{）}$上を動くとする．このとき，$w=x+yi$に対して

$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ミ}}}{\boxed{\text{ム}}t}}+t\text{，}y=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{メ}}}{\boxed{\text{モ}}t}}+\boxed{\text{ヤ}}t$

が成立し，点$(x,y)$は，双曲線

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ユ}}}{\boxed{\text{ヨ}}}}{x}^2-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ラ}}}{\boxed{\text{リ}\text{ル}}}}{y}^2=1$

上を動く．

(b)　$k$を正の実数とする．複素数平面上で点$z$が半直線$z=(1+ki)t\text{（}t>0\text{）}$上を動くとき，点$w$が

$|w+2|-|w-2|=1$

を満たすとする．このとき$k=\sqrt{\boxed{\text{レ}\text{ロ}}}$である．

【２】　正の実数$s$に対し，$3$次関数$f(x)$と曲線$C$を

$f(x)=x^3-sx\text{，}C\text{：}y=f(x)$

で定める．$p$を正の実数とし，$C$上の点$\mathrm{P}(p,f(p))$における$C$の接線を$l_1$とする．接線$l_1$と$C$との共有点で$\mathrm{P}$と異なる点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{Q}$における$C$の接線を$l_2$とする．

(1)　点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(2)　$2$つの直線$l_1$と$l_2$とが直交するような$C$上の点$\mathrm{P}(p,f(p))\text{（}p>0\text{）}$がただ$1$つ存在するときの$s$の値を求めよ．

(3)　曲線$C$上の点${\mathrm{R}}_1(2,f(2))$をとり，$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して，点${\mathrm{R}}_n$から点${\mathrm{R}}_{n+1}$を次の規則で定める．

「点${\mathrm{R}}_n$を通る直線で${\mathrm{R}}_n$以外の点で$C$に接するものを考え，その接点を${\mathrm{R}}_{n+1}$とする．」

点${\mathrm{R}}_n$の座標を$(x_n,y_n)$とするとき，${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{y}_n$の値を$s$を用いて表せ．

【３】　実数$a$に対し，座標平面における$2$つの曲線

$C_1\text{：}y=e^{x+a}\text{．}{C}_2\text{：}y=\log x-a$

を考える．ここで，$e$は自然対数の底で，$\log x$は自然対数である．

(1)　曲線$C_1$上に点$\mathrm{P}$をとり，$\mathrm{P}$における$C_1$の接線の方程式を$y=px+q$とする．このとき，すへての実数$x$に対して

$e^{x+a}\geqq px+q$

が成り立つことを示せ．

(2)　曲線$C_1$の接線で，直線$y=x$に平行なものの方程式を$a$を用いて表せ．

(3)　曲線$C_1$と$C_2$が共有点をもたないような，$a$の値の範囲を求めよ．

(4)　(3)の条件の下で，$C_1$上の点${\mathrm{P}}_1(1,e^{1+a})$と$C_2$上の点${\mathrm{P}}_2(e^{1+a},1)$をとる．このとき，$x$軸，曲線$C_2\text{，}$線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2\text{，}$曲線$C_1\text{，}y$軸で囲まれた図形の面積を$S$として，$S={\displaystyle \frac{4}{e}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}$となるような$a$の値を求めよ．