2016　東京理科大学　薬学部B方式2月7日実施MathJax

【１】　$a$を実数として，関数$f(x)=x^3+a{x}^2+(a-{\displaystyle \frac{3}{4}})x$を考える．

(1)　方程式$f(x)=0$が異なる実数解をちょうど$2$個もつような$a$の値は，小さい方から順に${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\text{，}\boxed{\text{ウ}}\text{，}\boxed{\text{エ}}$である．

(2)　$f(x)$が極値をとるのは$a\ne {\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$のときであり，このとき，極値をあたえる$x$の値は$-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}\text{，}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}a+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$である．

(3)　$a=\boxed{\text{ウ}}$のとき，および$a=\boxed{\text{エ}}$のときを考える．

(a)　$a=\boxed{\text{ウ}}$のとき，方程式$f(x)=k$が異なる$3$個の実数解をもつような実数$k$の値の範囲は$-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}\text{ソ}}}}<k<\boxed{\text{タ}}$である．

(b)　$a=\boxed{\text{エ}}$のとき，方程式$f(x)=k$が異なる$3$個の実数解をもつような実数$k$の値の範囲は$-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}<k<\boxed{\text{テ}}$である．

【２】　赤玉$1$個と白玉$4$個が入っている袋がある．この袋の中をよくかき混ぜた後，この袋から球を$1$個取り出す試行を考える．取り出した球が白球であったら球を袋にもどし，この試行を繰り返す．取り出した球が赤球であったら，試行を繰り返さず終了する．

(1)　ちょうど$4$回目に終了する確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}\text{エ}\text{オ}}}}$であり，$3$回目までに終了する確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}\text{ケ}\text{コ}}}}$である．また，$4$回目までに終了しない確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}\text{シ}\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}\text{ソ}\text{タ}}}}$である．

（注意：”$n$回目まで”とは，$1$回目，$2$回目，$\cdots$，$n$回目のことである．）

(2)　$\mathrm{A}$さんと$\mathrm{B}$君の$2$人が，$\mathrm{A}$さん，$\mathrm{B}$君の順で交互に試行を行い，先に赤球を取り出した人の勝ちとする．自然数$n$に対して，$\mathrm{A}$さんが，$\mathrm{A}$さんの$n$回以内の試行で勝つ確率を$p_n$とする．$\mathrm{B}$君が，$\mathrm{B}$君の$n$回以内の試行で勝つ確率を$q_n$とする．そのとき

$\underset{n\to \infty }{\lim }{p}_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}\text{，}\underset{n\to \infty }{\lim }{q}_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}$

である．

(3)　$\mathrm{A}$さんと$\mathrm{B}$君の$2$人で，まず$\mathrm{A}$さんが$100$回を限度として試行を繰り返す．次に$\mathrm{B}$君が$100$回を限度として試行を繰り返し，より少ない回数で赤球を取り出した人の勝ちとする．$2$人のうち$1$人のみが$100$回の試行で赤球を取り出せない場合は，赤球を取り出した人の勝ちとし，$2$人とも赤球を取り出せない場合は，どちらも勝ちではないとして終了する．

　そのとき，$\mathrm{B}$君が勝つ確率が${\displaystyle \frac{99}{100}}$以上になるのは，$\mathrm{A}$さんが$\boxed{\text{ナ}\text{ニ}}$回までに赤球を取り出せなかったときである．（注意：$0.3010<{\log }_{10}2<0.3011$）

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(9,4)\text{，}\mathrm{B}(6,8)$をとり，この平面上で$3$つの三角形$▵\mathrm{POA}\text{，}▵\mathrm{POB}\text{，}▵\mathrm{PAB}$の面積がすべて等しいような点$\mathrm{P}$を考える．

(1)　点$\mathrm{P}$が$▵\mathrm{OAB}$の内部にあるとき，$\mathrm{P}$の座標は$(\boxed{\text{ア}},\boxed{\text{イ}})$である．

(2)　点$\mathrm{P}$が$▵\mathrm{OAB}$の外部にあるとき，そのような点$\mathrm{P}$は$3$個ある．それらを$x$座標の小さい順に${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3$とおく．

(a)　${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3$の座標は，それぞれ

$(-\boxed{\text{ウ}},\boxed{\text{エ}})\text{，}(\boxed{\text{オ}},-\boxed{\text{カ}})\text{，}(\boxed{\text{キ}\text{ク}},\boxed{\text{ケ}\text{コ}})$

である．

(b)　この平面上で，$▵{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3$の外部にあり，$▵\mathrm{Q}{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2\text{，}▵\mathrm{Q}{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_3\text{，}▵\mathrm{Q}{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3$の面積がすべて等しいような点$\mathrm{Q}$は$3$個ある．それらを${\mathrm{Q}}_1\text{，}{\mathrm{Q}}_2\text{，}{\mathrm{Q}}_3$とおくと，$▵{\mathrm{Q}}_1{\mathrm{Q}}_2{\mathrm{Q}}_3$の面積は，$▵\mathrm{OAB}$の面積の$\boxed{\text{サ}\text{シ}}$倍になる．

【４】　$xy$平面上において，双曲線$x^2-{\displaystyle \frac{4}{3}}{y}^2=1$の$x>0$の部分を$C$とする．$a_0=1$として，点${\mathrm{P}}_1(0,a_0)$から$C$に接線をひき，接点を${\mathrm{T}}_1(a_1,b_1)$とおく．次に，点${\mathrm{P}}_2(0,a_1)$から$C$に接線をひき，接点を${\mathrm{T}}_2(a_2,b_2)$とおく．順次，このようにして点${\mathrm{P}}_{n+1}(0,a_n)$から$C$に接線をひき，接点を${\mathrm{T}}_{n+1}(a_{n+1},b_{n+1})$とおく $\text{（}n=2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$．

(1)　直線${\mathrm{P}}_1{\mathrm{T}}_1$の方程式は$y=-{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ア}}}}{\boxed{\text{イ}}}}x+\boxed{\text{ウ}}$であり，$a_1={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{エ}}}}{\boxed{\text{オ}}}}$である．

(2)　$a_{n+1}=\sqrt{\boxed{\text{カ}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}{a_n}^2}}}\text{（}n=1\text{，}2.\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$が成り立つ．

(3)　$k$は定数として，$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して$c_n={\displaystyle \frac{1}{{a_n}^2+k}}$とおくと

$c_{n+1}=p{c}_n+q$（ただし，$p\text{，}q$は定数で，かつ$\left|p\right|<1$）

が成り立つとき

$k={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}\text{，}p=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}\text{，}q={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}$

である．このとき

$c_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}{(-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}})}^n+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

である．

(4)　$n$が限りなく大きくなるとき，点${\mathrm{T}}_n$は$(-{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{テ}}}}{\boxed{\text{ト}}}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ナ}}}}{\boxed{\text{ニ}}}})$に限りなく近づく．

【５】　$k=1\text{，}2$に対して，$f_k(x)=e^{-x}\cos kx\text{，}{g}_k(x)=e^{-x}\sin kx$とおく．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)(a)　実数$t$に対して

${\displaystyle {\int }_0^t}{f}_2(x)dx={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}(-f_2(t)+\boxed{\text{ウ}}{g}_2(t)+\boxed{\text{エ}})$，

${\displaystyle {\int }_0^t}{g}_2(x)dx={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}(-\boxed{\text{キ}}{f}_2(t)-g_2(t)+\boxed{\text{ク}})$

となる．

(b)　${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}{f}_1(x)dx={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}(1-e^{-2\pi })\text{，}{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}{g}_1(x)dx={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}(1-e^{-2\pi })$である．

(2)　$a$を実数とする．$0\leqq x\leqq \pi$の範囲で，$0\leqq y\leqq e^{-x}|a+\cos 2x|$が表す領域を$x$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積を$V_f$とする．また，$0\leqq x\leqq \pi$の範囲で，$0\leqq y\leqq e^{-x}|a+\sin 2x|$が表す領域を$x$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積を$V_g$とする．

(a)

$V_f=\pi (1-e^{-2\pi })({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}{a}^2+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}a+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}\text{テ}}}})\text{，}$

$V_g=\pi (1-e^{-2\pi })({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}{a}^2+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}a+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}})$

である．

(b)　$a$が実数全体を動くとき，$V_f\text{，}{V}_g$を最小にする$a$の値をそれぞれ$a_f\text{，}{a}_g$とおくと

$a_f=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}\text{，}{a}_g=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}$

である．