2016　東京理科大学　工学部B方式2月8日実施MathJax

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は，上位の桁を$0$として，右に詰めた数値としなさい．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を$1$としなさい．根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．

(1)　三角形$\mathrm{ABC}$は以下の条件

・$\sin A={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{5}}\text{，}\sin B={\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{10}}$

・面積は$20$である

・$\mathrm{BC}>\mathrm{AB}$

をすべて満たす．

(a)　$\sin C={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ア}}}}{\boxed{\text{イ}\text{ウ}}}}$である．

(b)　$3$つの辺の長さは

$\mathrm{AB}=\boxed{\text{エ}}\sqrt{\boxed{\text{オ}\text{カ}}}\text{，}\mathrm{BC}=\boxed{\text{キ}\text{ク}}\text{，}$

$\mathrm{CA}=\boxed{\text{ケ}\text{コ}}\sqrt{\boxed{\text{サ}}}$

である．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は，上位の桁を$0$として，右に詰めた数値としなさい．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を$1$としなさい．根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．

(2)　以下の問いに答えなさい．

(a)　等式$mn=4m-3n+24$を満たす自然数$m\text{，}n$の組の総数は$\boxed{\text{ア}}$である．

(b)　等式$m^{2}n-2mn+3n-36=0$を満たす自然数$m\text{，}n$の組の総数は$\boxed{\text{イ}}$である．

(c)　等式$m^3-m^{2}n+(2n+3)m-3n+6=0$を満たす自然数$m\text{，}n$の組の総数は$\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は，上位の桁を$0$として，右に詰めた数値としなさい．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を$1$としなさい．根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．

(3)　関数$f(x)=x^2+2x\sqrt{1-x^2}\text{（}-1\leqq x\leqq 1\text{）}$を考える．

(a)　${\displaystyle {\int }_0^1}f(x)dx=\boxed{\text{ア}}$である．

(b)　$f(x)$の値域は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}-\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}}{\boxed{\text{エ}}}}\leqq f(x)\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}+\sqrt{\boxed{\text{カ}}}}{\boxed{\text{キ}}}}$である．

【２】

(1)　実数$x$の関数$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$（$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$は実数の定数）は以下の条件をすべて満たす．

・曲線$y=f(x)$上の点$(0,f(0))$における接線の方程式は$y=12x-4$である

・関数$f(x)$は$x=2$で極値$0$をとる

このとき，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$の値を求めなさい．

【２】

(2)　座標平面において，点$\mathrm{A}(1,1)\text{，}\mathrm{B}(1,0)\text{，}\mathrm{C}(4,4)$をとる．$k$を実数として，点$\mathrm{A}$を通り，傾きが$k$である直線を考える．この直線に関する点$\mathrm{B}$の対称点を$\mathrm{P}$とする．

(a)　$k=1$のとき，点$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．

(b)　$k$が実数全体を動くとき，点$\mathrm{P}$の軌跡を求めなさい．

(c)　$k$が実数全体を動くとき，$\mathrm{PC}$が最小となるような傾き$k$の値を求めなさい．

【３】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，点$\mathrm{A}(1,t)$（ただし，$t>0$）をとる．さらに，以下の条件をすべて満たすように点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$をとる．

・四角形$\mathrm{OABC}$は長方形である

・点$\mathrm{B}$の$x$座標は$1$より小さい

・長方形$\mathrm{OABC}$の面積は$2(1+t^2)$である

このとき，以下の問に答えなさい．

(1)　点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の座標を$t$で表しなさい．

(2)　長方形$\mathrm{OABC}$の領域$x\geqq 0$にある部分の面積を$S$とする．$S$を$t$で表しなさい．また，$t>0$の範囲で$t$を動かすとき，$S$の最小値を求めなさい．

(3)　$4$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る円と直線$x+y=1$の$2$つの交点を$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$とする．線分$\mathrm{MN}$の長さを$t$で表しなさい．