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2016-13442-0901
2016 東京理科大学 薬学部B方式
生命創薬学科
2月11日実施
配点15点
易□ 並□ 難□
【1】 方程式
1 x1 + 1x2 +⋯ + 1xn =1
の整数解で条件 0 <x1 ≦x2 ≦⋯≦ xn をみたすものを考える.
(1) n=2 のとき,条件をみたす整数解 ( x1, x2 ) の個数は ア 個である.
(2) n=3 のとき,条件をみたす整数解 ( x1, x2, x3 ) の個数は イ 個であり,それらの解のうち x1+ x2+ x3 の値が最も大きいものは ( x1, x2, x3 )= ( ウ , エ , オ ) である.
(3) n=4 のとき,条件をみたす整数解 ( x1, x2, x3, x4 ) の x 4 で最も大きい値は カ キ である.また,条件をみたす整数解で x4= 12 のものは ク 個ある.この ク 個の解のうち, x3 の値が最も小さいのは
(x 1,x 2,x 3,x 4)= ( ケ , コ , サ ,12 )
である.
2016-13442-0902
配点20点
【2】 z の関数
f⁡( x)= |x+ 1| -|x -1| +|x -2|
を考える.
(1) 不等式 f ⁡(x )< 3 2 の解は
- ア イ < x<- ウ エ
(2) 実数 k に対して,方程式 f ⁡(x )=k がちょうど 3 個の解をもつのは k =オ と k = カ のときである.ただし オ < カ とする.
(3) 方程式 f ⁡(x )= 17 19⁢ 5 の解の個数は キ 個である.
(4) 実数 t に対して
I⁡( t)= ∫ tt+1 (f⁡ (x) )2 ⁢dx
とおく.
(a) 0≦t ≦1 のとき,
I⁡( t)= -ク ⁢ t2+ ケ ⁢ t+ コ サ シ
(b) 1≦t ≦2 のとき,
I⁡( t)= ス ⁢ t2- セ ソ⁢ t+ タ チ ツ
(c) 0≦t ≦2 で考えると, I⁡( t) は t = テ ト において,最大値 ナ ニ ヌ ネ をとる.
2016-13442-0903
【3】 さいころを n 回投げ,第 1 投目から第 n 投目までに出たすべての目の積を a n とする.例えば n =3 で,第 1 投目と第 2 投目に「 3 」が出て,第 3 投目に「 6 」が出た場合 a3= 3×3× 6=54 である.
(1) an が 5 の倍数または 3 の倍数である確率は 1 -( ア イ ) n である.
(2) an が 5 の倍数であるが, 3 の倍数でない確率は ( ウ エ ) n- ( オ カ ) n である.
(3) an が 15 の倍数である確率は 1 +( キ ク ) n- ( ケ コ ) n- ( サ シ ) n である.ただし コ< シ とする.
(4) an が 3 の倍数であるが, 2 の倍数でない確率は ( ス セ ) n- ( ソ タ ) n である.
(5) an が 2 の倍数であるが, 5 の倍数でない確率は ( チ ツ ) n- ( テ ト ) n である.
(6) an が 30 の倍数である確率を q n とすると,
limn →∞ 1 n⁢ log ⁡(1 -qn )=log ⁡ ナ ニ
である.ただし,対数は自然対数を表すものとする.
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【4】 関数 f ⁡(x ), g⁡( x) ,h ⁡(x ) を
f⁡( x)= -x2 +2⁢x +8
g⁡( x)= -x+ 54
h⁡( x)= x2- x-1
により定める.
(1) f⁡( x)> 0 かつ g ⁡(x )>0 かつ h ⁡(x )>0 となる x の値の範囲は
- ア <x< イ ウ - エ オ ⁢ カ
(2) x が(1)で求めた範囲にあるとき, 3 辺の長さがそれぞれ f ⁡(x ), g⁡ (x ), h⁡ (x ) であるような三角形ができるための条件は
キ ク - ケ コ ⁢ サ シ <x< ス - セ ソ ⁢ タ チ
(3) (2)で作られた三角形が二等辺三角形となるような x の値は ツ 個ある.作られた三角形が正三角形になるときの x の値は x =- テ ト であり,その正三角形の 1 辺の長さはa ナ ニ ヌ である.またその正三角形の外接円の直径は ネ ノ ハ ⁢ ヒ である.
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【5】 自然数 n に対し,整式 x n を整式 x4+ 1 で割った余りを gn⁡ (x ) とする.
(1) 方程式 x4+ 1=0 の解のうち,偏角が一番小さいもの α は
α= ア イ ⁢ ウ + エ オ ⁢ カ ⁢ i
である.ただし, i は虚数単位で,複素数の偏角は 0 以上 2 ⁢π 未満の範囲で考えるものとする.
(2) g5 ⁡(x ), g6 ⁡( x) ,g 7⁡( x) は
g5 ⁡(x )=- キ ⁢ x3- ク ⁢ x2- ケ ⁢ x- コ
g6⁡ (x) =- サ ⁢ x3- シ ⁢ x2- ス ⁢ x- セ
g7 ⁡(x )=- ソ ⁢ x3- タ ⁢ x2- チ ⁢ x- ツ
(3) g2016 ⁡(x ) は
g2016 ⁡(x )= テ ⁢ x3+ ト ⁢ x2+ ナ ⁢ x+ ニ
以下では, α は(1)で求めたものとする.
(4) ∑k= 131 gk ⁡(α )= α ヌ である.
(5) ∑k= 194 ( gk⁡ (α )) 3 の虚部は ネ ノ ⁢ ハ である.
(6) ∑k= 11003 ( gk⁡ (α )) 4 の実部は - ヒ , 虚部は フ である.
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【6】 0<x ≦ π2 をみたす実数 x の範囲を定義域とする関数
f⁡( x)= sin ⁡4⁢x +2⁢sin ⁡2⁢x ⁢cos⁡x sin⁡x
について,以下の問いに答えよ.
(1) 右側極限 limx→ +0f ⁡(x ) は ア である.
(2) f⁡( x)= 0 の解は イ ウ ⁢ π と エ オ ⁢ π である.ただし イ ウ < エ オ とする.
(3) f⁡( x) は x =α で最小値をとるとする.このとき
cos⁡a =- カ キ + ク ケ ⁢ コ
f⁡( a)= サ シ ス セ - ソ タ チ ツ ⁢ テ
(4) 曲線 y =f⁡( x) と x 軸で囲まれる部分の面積は
ト ナ ⁢ ニ - ヌ ネ - ノ ハ ⁢ π