2016　東京理科大学　理学部B方式2月13日実施MathJax

【１】　次の(1)から(3)において，$\boxed{}$内のカタカナとひらがなにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．また，$\boxed{}$内のひらがなにあてはまる$+$か$-$の記号を解答用マークシートにマークせよ．ただし，$\boxed{}$は$2\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数を表すものとする．また$\boxed{\text{ア}}$などが$2$度現れる場合，$2$度目以降は$\boxed{\text{ア}}$のように網掛けで表記するものとする．なお，分数は既約分数（それ以上約分できない分数）の形で表すこと．

(1)　円$x^2+y^2=4$を$C$とし，直線$y=a(x-4)$を$l$とする．

(a)　$C$と$l$が共有点をもつような$a$の値の範囲は

$-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\sqrt{\boxed{\text{イ}}}}}\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\sqrt{\boxed{\text{エ}}}}}$

である．

(b)　$l$が$C$と$2$点で交わるとき，その$2$つの交点の中点を$\mathrm{P}$とする．また，$l$が$C$と接するとき，その接点を$\mathrm{P}$とする．このとき，点$\mathrm{P}$は曲線

${\displaystyle \frac{{(x-\boxed{\text{オ}})}^2}{\boxed{\text{カ}}}}+{\displaystyle \frac{{(y-\boxed{\text{キ}})}^2}{\boxed{\text{ク}}}}=1$

上にある．

(c)　$a$が(a)で求めた範囲を動くとき，(b)で定めた点$\mathrm{P}$が描く曲線の長さは

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}\pi$

である．

【１】　次の(1)から(3)において，$\boxed{}$内のカタカナとひらがなにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．また，$\boxed{}$内のひらがなにあてはまる$+$か$-$の記号を解答用マークシートにマークせよ．ただし，$\boxed{}$は$2\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数を表すものとする．また$\boxed{\text{ア}}$などが$2$度現れる場合，$2$度目以降は$\boxed{\text{ア}}$のように網掛けで表記するものとする．なお，分数は既約分数（それ以上約分できない分数）の形で表すこと．

(2)　$f(x)=x^3+p{x}^2+qx+r$とする．すべての実数$a\text{，}b\text{，}c$について

${\displaystyle {\int }_0^1}(a{x}^2+bx+c)f(x)dx=0$

であるような定数$p\text{，}q\text{，}r$の値は

$p=\boxed{\text{あ}}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}\text{，}q=\boxed{\text{い}}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}\text{，}r=\boxed{\text{う}}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}\text{チ}}}}$

である．

【１】　次の(1)から(3)において，$\boxed{}$内のカタカナとひらがなにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．また，$\boxed{}$内のひらがなにあてはまる$+$か$-$の記号を解答用マークシートにマークせよ．ただし，$\boxed{}$は$2\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数を表すものとする．また$\boxed{\text{ア}}$などが$2$度現れる場合，$2$度目以降は$\boxed{\text{ア}}$のように網掛けで表記するものとする．なお，分数は既約分数（それ以上約分できない分数）の形で表すこと．

(3)　座標空間内に$5$点$\mathrm{A}(0,0,0)\text{，}\mathrm{B}(1,-1,1)\text{，}\mathrm{C}(-1,1,1)\text{，}\mathrm{D}(2,2,2)\text{，}\mathrm{P}(a+2b,{\displaystyle \frac{2}{a+b}},b)$をとる．

(a)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\sqrt{\boxed{\text{ツ}}}$である．

(b)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の定める平面が直線$\mathrm{DP}$に垂直になるような$a\text{，}b$の値は

$a=-\boxed{\text{テ}}+\sqrt{\boxed{\text{ト}}}\text{，}b=\boxed{\text{ナ}}$

と

$a=-\boxed{\text{ニ}}-\sqrt{\boxed{\text{ヌ}}}\text{，}b=\boxed{\text{ネ}}$

である．

(c)　$a=-\boxed{\text{ニ}}-\sqrt{\boxed{\text{ヌ}}}\text{，}b=\boxed{\text{ネ}}$のとき，線分$\mathrm{DP}$の長さは

$\sqrt{\boxed{\text{ノ}}}+\sqrt{\boxed{\text{ハ}}}$

であり，四面体$\mathrm{ABCD}$の体積と四面体$\mathrm{ABCP}$の体積の和は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}+\boxed{\text{フ}}\sqrt{\boxed{\text{ヘ}}}}{3}}$

である．

【２】　$i$は虚数単位とする．

(1)　$t$を実数とし，$z=\sin t+i\cos 2t$とする．$t$が$0\leqq t<2\pi$の範囲を動くとき，複素数平面上の点$z$が描く曲線の概形を図示せよ．

(2)　点$z$が(1)で求めた曲線上を動くとき，$\left|z\right|$のとり得る値の範囲を求めよ．

(3)　$s\text{，}t$を実数とし，$z=(\cos s+i\sin s)(\sin t+i\cos 2t)$とする．$s\text{，}t$がそれぞれ$0\leqq s<2\pi \text{，}0\leqq t<2\pi$の範囲を動くとき，複素数平面上の点$z$はある図形をなす．この図形の概形を図示せよ．

【３】　座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(a_1,a_2)\text{，}\mathrm{B}(0,0)\text{，}\mathrm{C}(1,0)$をとる．ただし$a_2>0$とする．$\mathrm{AB}$を$1$辺とする正三角形の面積を$S_1\text{，}\mathrm{AC}$を$1$辺とする正三角形の面積を$S_2\text{，}$三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S_3$とし，$M=S_1+S_2+S_3$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{AB}\perp \mathrm{AC}$であるための必要十分条件を$a_1\text{，}{a}_2$の式で表せ．

(2)　$a_1\text{，}{a}_2$が(1)で求めた式をみたすとき，$M$のとり得る値の範囲を求めよ．

(3)　$\angle \mathrm{BAC}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$であるための必要十分条件を$a_1\text{，}{a}_2$の式で表せ．

(4)　$a_1\text{，}{a}_2$が(3)で求めた式を満たすとき，$M$のとり得る値の範囲を求めよ．