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【1】 次のからにおいて,内のカタカナにあてはまるからまでの数字を求め,その数を解答用マークシートにマークせよ.ただし,はの数,は桁の数,は桁の数を表す.値が根号を含む場合は,根号の中にあらわれる自然数が最小になる形で表すものとする.また,分数は既約分数として表すものとする.
(1) つの四角形の面をもつ多面体がある.最初につの面のうちつの面を選んで緑に塗り,さらに残りのつの各面を白,黒,赤,青の色のうちのつの色で塗り,これらのつの面がすべて異なる色になるように塗り分ける方法を考える.
(a) この多面体が,立方体である場合,このように塗り分けられる方法は全部で通りある.ただし,すべての正方形の面は塗られた色以外では区別がつかないものとする.また,回転させて一致するものは同じものとみなす.
次に,この多面体の各面を,白,黒,赤,青,緑,黄の色の内のつの色で塗り,すべての面が異なる色になるように塗り分ける方法を考える.
(b) この多面体が,つの正方形の面をもち,残りの平行なつの面は正方形でないひし形である場合,このように塗り分ける方法は全部で通りある.ただし,つの正方形の面はぬられた色以外では区別がつなかい面であり,つのひし形の面もぬられた色以外では互いに区別がつかない面であるとする.また,回転させて一致するものは同じものとみなす.
【1】 次のからにおいて,内のカタカナにあてはまるからまでの数字を求め,その数を解答用マークシートにマークせよ.ただし,はの数,は桁の数,は桁の数を表す.値が根号を含む場合は,根号の中にあらわれる自然数が最小になる形で表すものとする.また,分数は既約分数として表すものとする.
(a) 線分線分線分のそれぞれと平面との交点をとおくと,
であり,線分線分線分の長さはすべて等しく,どの線分の長さもである.
(b) 点と(a)で定めた点を頂点にもつ四面体の体積はである.
さらにつの点をとる.
(c) 線分線分線分のそれぞれと平面との交点をとおくとき,線分の中点は線分上にある.また,このとき線分線分線分の長さはすべて等しく,どの線分の長さもである.
(d) 線分線分線分線分のそれぞれと平面との交点をとおくと,線分と線分の交点の座標はである.また,四面体と四面体の共通部分からなる立体の体積はである.
【1】 次のからにおいて,内のカタカナにあてはまるからまでの数字を求め,その数を解答用マークシートにマークせよ.ただし,はの数,は桁の数,は桁の数を表す.値が根号を含む場合は,根号の中にあらわれる自然数が最小になる形で表すものとする.また,分数は既約分数として表すものとする.
(3) とはそれぞれおよびをみたす実数であるとする.座標平面上のつの曲線
を考える.
(a) である場合に,曲線が曲線と共有点をもつようなの値の範囲はである.
(b) である場合にと定めると,曲線と曲線の共有点のうち,その座標の値が以上かつ以下の範囲にあるものは一つだけである.この条件によって定まる共有点の座標の値は,である.さらに曲線と曲線によって囲まれる図形のうち,座標の値が以上かつ以下の範囲にある部分の面積はである.
【2】 を自然対数の底とし,正の定数に対しての関数によって定まる座標平面上の曲線を考える.次の問いに答えよ.
(1) を正の実数とするとき,曲線のの部分の長さをとによって表せ.
(2) 正の定数が与えられたとき,正の実数によって(1)で定まるはのようにの関数として表せる.関数の逆関数を求めよ.
(3) を(2)で求めたの逆関数とする.曲線上の点の座標がであるとき,その点の座標を求めよ.
(4) (2)および(3)で求めた関数により与えられる関数
を求めよ.
(5) (2)と(3)で求めた関数によって表される曲線上の点におけるの接線をとする.上の点をであり,かつとなるように定める.を求めよ.
(6) 右側極限についての等式
が成り立つような定数を求めよ.