2016　東京理科大学　理学部B方式2月12日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ヨ}}$において，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数を解答用マークシートにマークせよ．ただし，$\boxed{}$は$1\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数，$\boxed{}$は$2$桁の数，$\boxed{}$は$3$桁の数を表す．値が根号を含む場合は，根号の中にあらわれる自然数が最小になる形で表すものとする．また，分数は既約分数として表すものとする．

(1)　$6$つの四角形の面をもつ多面体がある．最初に$6$つの面のうち$2$つの面を選んで緑に塗り，さらに残りの$4$つの各面を白，黒，赤，青の$4$色のうちの$1$つの色で塗り，これらの$4$つの面がすべて異なる色になるように塗り分ける方法を考える．

(a)　この多面体が，立方体である場合，このように塗り分けられる方法は全部で$\boxed{\text{ア}\text{イ}}$通りある．ただし，すべての正方形の面は塗られた色以外では区別がつかないものとする．また，回転させて一致するものは同じものとみなす．

次に，この多面体の各面を，白，黒，赤，青，緑，黄の$6$色の内の$1$つの色で塗り，すべての面が異なる色になるように塗り分ける方法を考える．

(b)　この多面体が，$4$つの正方形の面をもち，残りの平行な$2$つの面は正方形でないひし形である場合，このように塗り分ける方法は全部で$\boxed{\text{ウ}\text{エ}\text{オ}}$通りある．ただし，$4$つの正方形の面はぬられた色以外では区別がつなかい面であり，$2$つのひし形の面もぬられた色以外では互いに区別がつかない面であるとする．また，回転させて一致するものは同じものとみなす．

【１】　次の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ヨ}}$において，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数を解答用マークシートにマークせよ．ただし，$\boxed{}$は$1\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数，$\boxed{}$は$2$桁の数，$\boxed{}$は$3$桁の数を表す．値が根号を含む場合は，根号の中にあらわれる自然数が最小になる形で表すものとする．また，分数は既約分数として表すものとする．

(2)　座標空間に$4$つの点$\mathrm{P}(0,0,2)\text{，}\mathrm{A}(2,0,0)\text{，}\mathrm{B}(-1,\sqrt{3},0)\text{，}\mathrm{C}(-1,-\sqrt{3},0)$をとる．

(a)　線分$\mathrm{PA}\text{，}$線分$\mathrm{PB}\text{，}$線分$\mathrm{PC}$のそれぞれと平面$z={\displaystyle \frac{4}{3}}$との交点を${\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{C}}^{\prime }$とおくと，

${\mathrm{A}}^{\prime }({\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}},\boxed{\text{ク}},{\displaystyle \frac{4}{3}})$

であり，線分${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}$線分${\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}$線分${\mathrm{C}}^{\prime }{\mathrm{A}}^{\prime }$の長さはすべて等しく，どの線分の長さも${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}\sqrt{\boxed{\text{サ}}}$である．

(b)　点$\mathrm{P}$と(a)で定めた$3$点${\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{C}}^{\prime }$を頂点にもつ四面体$\mathrm{P}{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }$の体積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}\text{セ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}$である．

さらに$4$つの点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{D}(-2,0,2)\text{，}\mathrm{E}(1,-\sqrt{3},2)\text{，}\mathrm{F}(1,\sqrt{3},2)$をとる．

(c)　線分$\mathrm{OD}\text{，}$線分$\mathrm{OE}\text{，}$線分$\mathrm{OF}$のそれぞれと平面$z={\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}$との交点を${\mathrm{D}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{E}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{F}}^{\prime }$とおくとき，線分${\mathrm{F}}^{\prime }{\mathrm{E}}^{\prime }$の中点は線分$\mathrm{PA}$上にある．また，このとき線分${\mathrm{D}}^{\prime }{\mathrm{E}}^{\prime }\text{，}$線分${\mathrm{E}}^{\prime }{\mathrm{F}}^{\prime }\text{，}$線分${\mathrm{F}}^{\prime }{\mathrm{D}}^{\prime }$の長さはすべて等しく，どの線分の長さも${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ト}}}$である．

(d)　線分$\mathrm{PA}\text{，}$線分$\mathrm{PB}\text{，}$線分$\mathrm{OF}\text{，}$線分$\mathrm{OD}$のそれぞれと平面$z=1$との交点を$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}\text{，}\mathrm{T}$とおくと，線分$\mathrm{QR}$と線分$\mathrm{ST}$の交点の座標は$(\boxed{\text{ナ}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ネ}}},1)$である．また，四面体$\mathrm{PABC}$と四面体$\mathrm{ODEF}$の共通部分からなる立体の体積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ヒ}}}$である．

【１】　次の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ヨ}}$において，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数を解答用マークシートにマークせよ．ただし，$\boxed{}$は$1\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数，$\boxed{}$は$2$桁の数，$\boxed{}$は$3$桁の数を表す．値が根号を含む場合は，根号の中にあらわれる自然数が最小になる形で表すものとする．また，分数は既約分数として表すものとする．

(3)　$a$と$t$はそれぞれ$a>3$および$0\leqq t\leqq 2\pi$をみたす実数であるとする．座標平面上の$2$つの曲線

$C_1\text{：}y=2\sin x+3$

$C_2\text{：}y=a-2\cos (x-t)$

を考える．

(a)　$a=2\sqrt{3}+3$である場合に，曲線$C_2$が曲線$C_1$と共有点をもつような$t$の値の範囲は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘ}}}}\pi \leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ホ}}}{\boxed{\text{マ}}}}\pi$である．

(b)　$t={\displaystyle \frac{7\pi }{6}}$である場合に$a=\boxed{\text{ミ}}$と定めると，曲線$C_1$と曲線$C_2$の共有点のうち，その$x$座標の値が${\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$以上かつ${\displaystyle \frac{7\pi }{2}}$以下の範囲にあるものは一つだけである．この条件によって定まる共有点の$x$座標の値$\theta$は，$\theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ム}\text{メ}}}{\boxed{\text{モ}}}}$である．さらに曲線$C_1$と曲線$C_2$によって囲まれる図形のうち，$x$座標の値が$2\pi$以上かつ$\theta$以下の範囲にある部分の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヤ}}}{\boxed{\text{ユ}}}}\pi -\boxed{\text{ヨ}}$である．

【２】　$e$を自然対数の底とし，正の定数$a$に対して$x$の関数$f(x)={\displaystyle \frac{e^{ax}+e^{-ax}}{2a}}$によって定まる座標平面上の曲線$C\text{：}y=f(x)$を考える．次の問いに答えよ．

(1)　$t$を正の実数とするとき，曲線$C\text{：}y=f(x)$の$0\leqq x\leqq t$の部分の長さ$s$を$t$と$a$によって表せ．

(2)　正の定数$a$が与えられたとき，正の実数$t$によって(1)で定まる$s$は$s=g(t)$のように$t$の関数として表せる．関数$g(t)$の逆関数$u(s)$を求めよ．

(3)　$u(s)$を(2)で求めた$g(x)$の逆関数とする．曲線$C$上の点の$x$座標が$u(s)$であるとき，その点の$y$座標$v(s)$を求めよ．

(4)　(2)および(3)で求めた関数$u(s)\text{，}v(s)$により与えられる関数

$h(s)={\displaystyle \frac{d}{ds}}u(s)\cdot {\displaystyle \frac{d^2}{{ds}^2}}v(s)-{\displaystyle \frac{d^2}{{ds}^2}}u(s)\cdot {\displaystyle \frac{d}{ds}}v(s)$

を求めよ．

(5)　(2)と(3)で求めた関数$u(s)\text{，}v(s)$によって表される曲線$C$上の点$\mathrm{P}(u(s),v(s))$における$C$の接線を$l$とする．$l$上の点$\mathrm{Q}(x(s),y(s))$を$y(s)<v(s)$であり，かつ$\mathrm{QP}=s$となるように定める．$y(s)$を求めよ．

(6)　右側極限についての等式

$\underset{s\to +0}{\lim }h(s)=\underset{s\to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{{y(s)}^2}}$

が成り立つような定数$a$を求めよ．

【３】　座標平面上で$3$つの曲線

$C_1\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$

$C_2\text{：}y=18\sqrt{x}-{\displaystyle \frac{63}{2}}\text{（}x>0\text{）}$

$C_3\text{：}y=-18\sqrt{x}-{\displaystyle \frac{63}{2}}\text{（}x>0\text{）}$

を考える．次の問いに答えよ．

(1)　曲線$C_1$上の点$(x_1,y_1)$における$C_1$の接線の方程式を求めよ．

(2)　曲線$C_2$上の点$(x_2,y_2)$における$C_2$の接線の方程式を求めよ．

(3)　曲線$C_1$の接線でもあり，かつ曲線$C_2$の接線でもあるような$2$直線$l_1\text{，}{l}_2$の方程式を求めよ．

(4)　曲線$C_1$の接線でもあり，かつ曲線$C_3$の接線でもあるような直線$l_3$の方程式を求めよ．

(5)　(3)，(4)で求めた$3$直線$l_1\text{，}{l}_2\text{，}{l}_3$によって囲まれる部分の面積を求めよ．

(6)　(3)で求めた$2$直線$l_1\text{，}{l}_2$および曲線$C_2$によって囲まれる部分の面積を求めよ．