2016　東京理科大学　経営学部B方式2月11日実施MathJax

【１】　方程式

$x^2-5x-4=0$

の$2$解を$\alpha \text{，}\beta$とするとき，数列$\{a_n\}$の一般項を

$a_n={\alpha }^n+{\beta }^n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

とする．次の問いに答えなさい．

(1)　このとき，$a_1=\boxed{\text{ア}}\text{，}{a}_2=\boxed{\text{イ}\text{ウ}}$である．また，数列$\{a_n\}$は漸化式

$a_{n+1}=\boxed{\text{エ}}{a}_n+\boxed{\text{オ}}{a}_{n-1}\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$

を満たす．

(2)　任意の自然数$n$に対して，$a_n$を$10$で割ったときの余りを$r_n$とする．このとき，正の整数$n$で$r_{n+1}=r_1\text{，}{r}_{n+2}=r_2$を満たす最小のものは$n=\boxed{\text{カ}}$である．また，$r_{2016}=\boxed{\text{キ}}$である．

【２】　$▵\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$を$4:3$に内分する点を$\mathrm{E}$とし，線分$\mathrm{AE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．また，線分$\mathrm{BF}$の延長が辺$\mathrm{AC}$と交わる点を$\mathrm{G}$とする．次の問いに答えなさい，

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AF}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\overrightarrow{\mathrm{AE}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{CF}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\overrightarrow{\mathrm{CD}}$である．したがって，

$\overrightarrow{\mathrm{AF}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

と表される．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{BF}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}\overrightarrow{\mathrm{BG}}$である．したがって，

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}\overrightarrow{\mathrm{AG}}$

と表される．

【３】　座標平面において，放物線$C\text{：}y=x^2$上を$2$点$\mathrm{Q}(\alpha ,{\alpha }^2)\text{，}\mathrm{R}(\beta ,{\beta }^2)$が

$3\alpha +\beta =2\text{，}\beta <0<\alpha$

を満たすように動く．$C$の$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$における接線の交点を$\mathrm{P}$とし，$\mathrm{P}$が頂点になるように，$C$を平行移動した放物線を$C^{\prime }$とする．また，直線$\mathrm{QR}$と$C^{\prime }$で囲まれる領域の面積を$S$とする．次の問いに答えなさい．

(1)　直線$\mathrm{QR}$と$C^{\prime }$の交点の$x$座標は方程式

$x^2+\boxed{\text{ア}}(\alpha -\boxed{\text{イ}})x-\boxed{\text{ウ}}{\alpha }^2+\boxed{\text{エ}}\alpha +\boxed{\text{オ}}=0$

を満たす．

(2)　$S$を$\alpha$の式で表すと

$S=\boxed{\text{カ}\text{キ}}{({\alpha }^2-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}\alpha +{\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}})}^{\frac{3}{2}}$

となる．

(3)　$S$を最小にする$\alpha$の値と，そのときの$S$の値はそれぞれ

$\alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}\text{，}S={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}\text{チ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ツ}}}$

である．