2016　東邦大学　医学部医学科MathJax

2016-13460-0201

2016　東邦大学　医学部医学科

1月27日実施

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【１】　 $e$ を自然対数の底とし，関数 $f (x)$ を $f (x) = 8 \log_{e} \sqrt{6 + \sqrt{9 + x^{3}}}$ と定める．このとき， $f^{'} (3) = \frac{ア}{イ}$ である．

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【２】　空間において，方程式 $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 8 y - 4 z - 28 = 0$ で表される曲面を $C$ とする．このとき， $C$ は中心 $(ウ, エ, オ) ，$ 半径 $カ$ の球面である．また， $C$ 上の点 $(- 5, 6, 5)$ で接する平面と $z$ 軸との交点の座標は $(0, 0, キク)$ である．

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【３】　 $O$ を原点とする座標平面において，点 $P (3, 1)$ を通る直線が円 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上の $2$ 点 $A ， B$ で交わる．ただし， $A$ と $B$ はそれぞれ第 $1$ 象限，第 $2$ 象限内の点である． $PA = \sqrt{5}$ のとき， $AB = \frac{ケ \sqrt{コ}}{サ}$ であり， $▵ OAB$ の面積は $\frac{シ}{ス}$ である．

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2016年東邦大医学科【４】2016134600204の図

【４】　 $▵ ABC$ において，辺 $AC$ に接する傍接円と直線 $BC$ との接点を $D$ とする． $AB = 19 ， BC = 27 ， CA = 24$ のとき， $BD = セソ$ である．

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【５】　 $0 ° < θ < 90 °$ のとき， $4 (1 + \sin θ) - \frac{3}{1 - \sin θ}$ の最大値は $タチ \sqrt{ツ} + テ$ である．

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【６】　さいころを $3$ 回投げて出た目を順に $a ， b ， c$ とする． $2$ 次関数 $y = a x^{2} + b x + c$ の最小値を $m$ とするとき， $m > \frac{11}{2}$ となる確率は $\frac{ア}{イウ}$ である．

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【７】　整式 $x + x^{104}$ を，整式 $1 - x + x^{2}$ で割ったときの余りは $エオ + カ x$ である．

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【８】　 $e$ を自然対数の底とする．関数 $f (x) = \frac{2}{3} \log_{e} x + 2 x^{2} + a x$ が極値をもつための $a$ の値の範囲は $a < \frac{キク \sqrt{ケ}}{コ}$ である．

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2016年東邦大医学科【９】2016134600209の図

【９】　 $BC = 2 ， ∠ A = 30 ° ， ∠ B = 105 °$ である $▵ ABC$ において，辺 $AB$ 上に点 $D$ があり $∠ BCD = 30 °$ である．このとき， $CD = \sqrt{サ} + シ$ である．また，辺 $CA$ 上に点 $E$ を $∠ CBE = 30 °$ となるようにとるとき， ${DE}^{2} = スセ \sqrt{ソ} + タチ$ である．

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【10】　 $a$ を定数とし，整式 $(a + 1) x^{2} + 10 x y - 3 y^{2} - 2 a x - 12 y + a$ が異なる $2$ つの $1$ 次式の積に因数分解できるとする．ただし， $2$ つの $1$ 次式の係数は整数とする．このとき， $a$ の値は $ツテ$ である．

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【11】　 $O$ を原点とする座標平面上に $2$ 点 $A ， B$ があり， $\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ の成分はそれぞれ $(1, 0) ， (0, 1)$ である．線分 $AB$ を $(1 - t) : t$ に内分する点を $C ，$ 線分 $BO$ を $t : (1 - t)$ に内分する点を $D$ とする．ただし， $0 < t < 1$ である． $\vec{OC}$ と $\vec{AD}$ のなす角を $θ$ とするとき， $- \frac{1}{\sqrt{2}} < \cos θ < \frac{1}{\sqrt{2}}$ となる $t$ の値の範囲は $0 < t < \frac{ア}{イ}$ である．

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【12】　 $a$ は正の整数で， $3$ 次方程式 $x^{3} - 20 x^{2} + (100 - a) x + 8 a - 23 = 0$ が正の整数解をただ $1$ つもつとする．このとき， $a = ウエ$ である．

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【13】　数列 ${a_{n}}$ は， $n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots$ で次の等式を満たしている．

$n \cdot a_{1} + (n - 1) \cdot a_{2} + (n - 2) \cdot a_{3} + \dots + 2 \cdot a_{n - 1} + 1 \cdot a_{n} = \frac{n - 4}{10} + \frac{2}{n + 5}$

　このとき，

$\lim_{n \to \infty} (a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n - 1} + a_{n}) = \frac{オ}{カキ}$

であり，

$\lim_{n \to \infty} {2 \cdot a_{1} + 5 \cdot a_{2} + 8 \cdot a_{3} + \dots + (3 n - 4) \cdot a_{n - 1} + (3 n - 1) \cdot a_{n}} = \frac{ク}{ケ}$

である．

2016-13460-0214

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【14】　曲線 $y^{2} = {(x - 1)}^{2} (2 x - x^{2})$ で囲まれた部分の面積は $\frac{コ}{サ}$ である．

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【15】　 $2$ つの変量をもつ $100$ 個のデータ $(x_{1}, y_{1}) ， (x_{2}, y_{2}) ， \dots ， (x_{100}, y_{100})$ が，

$\sum_{i = 1}^{100} {x_{i}}^{2} = 500 ， \sum_{i = 1}^{100} {y_{i}}^{2} = 900 ， \sum_{i = 1}^{100} x_{i} y_{i} = 500$

を満たす場合を考える． $X = \frac{1}{100} \sum_{i = 1}^{100} x_{i}$ および $Y = \frac{1}{100} \sum_{i = 1}^{100} y_{i}$ とするとき，点 $(X, Y)$ の存在範囲は不等式 $\frac{{(Y - X)}^{2}}{シ} + \frac{X^{2}}{ス} ≦ 1$ の表す領域である．また， $| X + Y |$ のとり得る値の範囲は $0 ≦ | X + Y | ≦ セ \sqrt{ソ}$ である．