2016　東邦大学　薬学部推薦MathJax

【１】

(1)　次の式を簡単にせよ．

$\sqrt[6]{{\displaystyle \frac{10}{3}}}\times \sqrt[3]{90}÷\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{5}}}=\boxed{}$

【１】

(2)　関数$y={({\log }_{2}x)}^2-{\log }_{\sqrt{2}}x+2$は$x=\boxed{}$で最小値$\boxed{}$をとる．

【２】

(1)　$\sqrt{3}\sin x-3\cos x$を$r\sin (x+\alpha )$の形に変形すると$\boxed{}$である．ただし，$r>0\text{，}-\pi <\alpha <\pi$とする．

(2)　$0\leqq x<2\pi$とするとき，不等式$\sqrt{3}\sin x-3\cos x\geqq 3$を解くと$\boxed{}$である．

【３】　$▵\mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=3\text{，}\mathrm{OB}=4\text{，}\angle \mathrm{AOB}=60\mathrm{°}$である．頂点$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{AB}$へ垂線を引き，その垂線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{H}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値は$\boxed{}$である．

(2)　$\mathrm{AH}:\mathrm{HB}=t:1-t\text{（}0<t<1\text{）}$とおくと，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=(1-t)\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表せるから，$t$の値は$\boxed{}$である．

【４】　放物線$y=x^2$上に点$\mathrm{A}(-1,1)\text{，}\mathrm{B}(2,4)$がある．放物線の下側の領域に点$\mathrm{C}$をとり，$▵\mathrm{ABC}$が$\angle \mathrm{B}$を直角とする直角二等辺三角形であるようにする．直線$\mathrm{AB}$の方程式を$y=ax+b$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a=\boxed{}\text{、}b=\boxed{}$で，$\mathrm{C}(\boxed{},\boxed{})$である．

(2)　連立不等式$y\geqq x^2\text{，}y\leqq ax+b$で表される領域を$D_1\text{，}▵\mathrm{ABC}$の周および内部を$D_2$とするとき，和集合$D_1\cup D_2$の面積は$\boxed{}$である．

【５】　$2$つの放物線$C_1\text{：}y=-x^2-2ax+2a+1\text{，}{C}_2\text{：}y={(x-1)}^2$がある．ただし，$a>0$とする．$C_1$の頂点を$\mathrm{P}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$の座標を$a$で表せ．

(2)　点,$\mathrm{P}$は放物線$C_2$の上にあることを証明せよ．

(3)　点$\mathrm{P}$における$C_2$の接線が点$(0,-3)$を通るとき，$C_1$と$C_2$で囲まれる図形の面積を求めよ．