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2016-13591-0201
2016 早稲田大学 スポーツ科学部
2月14日実施
易□ 並□ 難□
【1】 x ,y を正の整数とする.
(1) 17⁢x -36⁢y =1 となる最小の x は ア である.
(2) 17⁢x 3-36 ⁢y=1 となる最小の x は イ である.
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【2】 点 F ( 0,1 ) を通り,直線 y =-1 に接する円の中心が描く軌跡を曲線 C とする.このとき,曲線 C を表す方程式は
y= 1ウ ⁢ x 2
となる.また,曲線 C 上に x 座標が正である点 P をとる.線分 FP の長さが 4 となるとき,曲線 C の点 P における接線と曲線 C および y 軸とで囲まれる図形の面積は エ ⁢ オ となる.
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【3】 2 つの箱 A ,B があり,いずれの箱にも赤球が 1 個,白球が 3 個入っている.ここで,「それぞれの箱から 1 個の球を無作為に取り出しそれらを交換する」という試行を n 回繰り返す.その結果, 2 つの箱 A ,B がともに元の状態に戻っている確率を p n とする.
このとき,正の整数 k に対して,
pk +1= カ キ ⁢ p k+ ク ケ ⁢ (1 -pk )
となる.よって,
pn = コ 7 ⁢ ( 1 サ ) n+ シ 7 ( n≧ 1 )
となる.
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【4】 正の定数 a に対して, f⁡( x)= a⁢x 3-( 2⁢a- 1)⁢ x2- (5⁢ a+1) ⁢x+6 ⁢(a -1) とする.関数 y =f⁡ (x ) のグラフは x 軸とちょうど 2 つの共有点をもつ.これらの共有点のうち, x 座標の値が大きい方の点の座標は ( ス ,0 ) であり, a= セ ソ である.また, f⁡( x) が極小値をとるのは, x= タ チ のときである.
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【5】 数列 { an } はすべての項が整数であり,次の性質を満たしている.
「正の整数 n の正の約数が k 個あるとき,これらを d1 ,d 2 ,⋯ , dk とすると,
ad 1+a d2+ ⋯+a dk= n
が成り立つ.」
(1) a5 =ツ ,a 6= テ , a49 =ト である.
(2) a5 100= ナ ⋅ 599 である.
(3) p ,q を p <q を満たす 2 つの素数とする. ap⁢ q=p ⁢q-1 が成立するならば, p= ニ , q= ヌ である.
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【6】 関数 f ⁡(x ) を
f⁡( x)= ∫ xx+1 ( 1+| t|) ⁢(1 +|t -1| )⁢ dt
と定義する.
(1) x≦- 1 のとき,
f⁡( x)= ネ ⁢ x2+ ノ ⁢ x+ ハ ヒ
である.
(2) x が実数全体を動くとき,関数 f ⁡(x ) は, x= フ のとき最小となり,その値は ヘ ホ である.