2016　早稲田大学　人間科学部MathJax

【１】　以下の問に答えよ．

(1)　それぞれの在庫が$3$個以上ある$5$種類の商品の中から，$3$個の商品を選ぶ選び方は$\boxed{\text{ア}}$通りである．

【１】　以下の問に答えよ．

(2)　$3$つの引き出し$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$がある．

引き出し$\mathrm{A}$には商品「メガネ」が$3$個と商品「サングラス」が$2$個，引き出し$\mathrm{B}$には商品「メガネ」が$2$個と商品「サングラス」が$5$個入っている．引き出し$\mathrm{C}$には何も入っていない．

いま引き出し$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$からそれぞれ$1$個ずつ無作為に商品を取り出し，引き出し$\mathrm{C}$に入れた．

その後，引き出し$\mathrm{C}$から無作為に取り出した商品が「メガネ」であったとき，この商品が引き出し$\mathrm{A}$から取り出されたものである確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}$である．

【２】　三角形$\mathrm{ABC}$に対して，ベクトル$\overrightarrow{p}\text{，}\overrightarrow{q}$を

$\overrightarrow{p}=(\sin A,\sin B)$

$\overrightarrow{q}=(\cos B,\cos A)$

とするとき，

$\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}=\sin 2C$

が成り立つ．以下の問に答えよ．

(1)　角$C$の大きさは${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}\pi$である．

(2)　$\mathrm{sn}A\text{，}\sin C\text{，}\sin B$はこの順で等差数列をなし，かつ，

$\overrightarrow{\mathrm{CA}}\cdot (\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}})=32$

であるとき，辺$\mathrm{AB}$の長さは$\boxed{\text{カ}}$である．

【３】　曲線$C\text{：}y=x^2$の点を$\mathrm{P}$とする．ただし$\mathrm{P}$の$x$座標は正とする．点$\mathrm{P}$における$C$の接線を$l\text{，}$点$\mathrm{P}$を通り$l$に垂直な直線を$m$とする．直線$m$と曲線$C$が$\mathrm{P}$とは異なる交点をもつとき，その点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{P}$が曲線$C$上を動くとき，以下の問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{Q}$における$C$の接線を$n$とし，$l$と$n$との交点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{R}$の座標を$(p,q)$とするとき

$q={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}{p}^2}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$

が成り立つ．

(2)　曲線$C$と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれた部分の面積の最小値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$であり，そのときの点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の座標は

$\mathrm{P}({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}})\text{，}\mathrm{Q}({\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}})$

である．

【４】　$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}|t-2|dt$

とする．ただし$x\geqq 0$とする．

　関数$y=f(x)$のグラフと$x$軸，$x=1\text{，}x=4$で囲まれる部分の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}$である．

【５】　$2$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{P}(p,q,r)$を通る直線を$l$とする．ただし$p^2+q^2+r^2=1$とする．

　直線$l$に$4$点

$\mathrm{A}(1,1,-1)\text{，}\mathrm{B}(1,-1,1)\text{，}\mathrm{C}(-1,1,1)\text{，}\mathrm{D}(-1,-1,-1)$

から，それぞれ垂線${\mathrm{AA}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{BB}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{CC}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{DD}}^{\prime }$を下ろすとき

${({\mathrm{OA}}^{\prime })}^2={(p+\boxed{\text{ヌ}}q+\boxed{\text{ネ}}r)}^2$

であり

${({\mathrm{OA}}^{\prime })}^2+{({\mathrm{OB}}^{\prime })}^2+{({\mathrm{OC}}^{\prime })}^2+{({\mathrm{OD}}^{\prime })}^2=\boxed{\text{ノ}}$

である．

【４】　$xy$平面上の原点を中心とする単位円を底面とし，点$\mathrm{P}(t,0,1)$を頂点とする円錐を$\mathrm{K}$とする．

　$t$が$-1\leqq t\leqq 1$の範囲を動くとき，円錐$\mathrm{K}$の表面および内部が通過する部分の体積は${\displaystyle \frac{\pi +\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}$である．

【５】　複素数$z_1\text{，}{z}_2\text{，}{z}_3$が表す複素数平面上の点を，それぞれ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$とする．$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が$\mathrm{AB}:\mathrm{BC}:\mathrm{CA}=1:\sqrt{3}:2$の三角形を作るとき

${\displaystyle \frac{z_3-z_1}{z_2-z_1}}=\boxed{\text{ヌ}}\pm \sqrt{\boxed{\text{ネ}}}i$

である．