2016　早稲田大学　教育学部MathJax

【１】　次の各問の解答を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(1)　正の整数$a$に対して，ある整数$b$が存在して$63a-32b=1$を満たすとする．$a$はこのような性質を満たす正の整数のうちで最小のものであるとする．このとき$ab$の値を求めよ．

【１】　次の各問の解答を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(2)　$3$個のさいころを同時に投げたとき，出た目すべての積が$4$の倍数となる確率を求めよ．

【１】　次の各問の解答を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(3)　$a_1=a_2=1\text{，}{a}_{n+2}=a_n+a_{n+1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とし，

$b_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

とおく．$b_1$から$b_{2016}$までの$2016$個の整数のうち$3$の倍数であるものは全部で何個あるか．

【１】　次の各問の解答を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(4)　$y=f(x)$は$0\leqq x\leqq 1$で定義された連続な関数で$f(0)=0\text{，}f(1)=1$であり，$0\leqq x_1<x_2\leqq 1$であるすべての$x_1\text{，}{x}_2$に対して$f(x_1)<f(x_2)$を満たしているとする．$x=g(y)$を$0\leqq y\leqq 1$で定義された$f$の逆関数とする．

$5{\displaystyle {\int }_0^1}f(x)dx=2{\displaystyle {\int }_0^1}g(y)dy$

が成立しているとき${\displaystyle {\int }_0^1}f(x)dx$の値を求めよ．

【２】　$2$つの複素数$w\text{，}z\text{（}z\ne 0\text{）}$の間に

$w=z-{\displaystyle \frac{7}{4z}}$

という関係がある．ここで$w=x+yi$（$x\text{，}y$は実数，$i$は虚数単位）と表すとき，以下の問に答えよ．

(1)　複素数平面上で$z$が原点$\mathrm{O}$を中心として半径${\displaystyle \frac{7}{2}}$の円周上を動くとする．このとき$w$が描く曲線$C$を座標平面上の$x$と$y$の方程式で表示せよ．

(2)　(1)で得られた曲線$C$上の点$\mathrm{P}(s,t)\text{（}s>0\text{，}t>0\text{）}$における曲線$C$の接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}\text{，}y$軸と交わる点を$\mathrm{R}$とする．このとき原点$\mathrm{O}$と$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$とを頂点とする直角三角形$▵\mathrm{OQR}$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる円錐の体積の最小値を求めよ．

【３】　座標平面上の動点${\mathrm{P}}_t(x,y)$の座標が，$t$の関数

$x=e^{-t}\cos t\text{，}y=e^{-t}\sin t$

で与えられている．また$\mathrm{O}$を原点とする．実数$a\text{，}b$で$0<b-a<2\pi$であるものに対して，線分${\mathrm{OP}}_a$と，動点${\mathrm{P}}_t$が$t=a$から$t=b$まで動くときに描く曲線と，線分${\mathrm{OP}}_b$とによって囲まれる部分の面積を$S(a,b)$とおく．次の問に答えよ．

(1)　$f(t)=S(0,t)$とする．導関数${\displaystyle \frac{d}{dt}}f(t)$を求めよ．

(2)　自然数$n$に対して，$U(n)=S({\displaystyle \frac{n-1}{2}}\pi ,{\displaystyle \frac{n}{2}}\pi )$とおく．$U(n)$を求めよ．

(3)　無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}U(n)$の和を求めよ．

【４】　$3$点$(0,0)\text{，}(1,0)\text{，}(0,1)$を頂点とする三角形を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{D}$の$1$辺を選び，その中点を中心として$\mathrm{D}$を$180\mathrm{°}$回転させる．このようにして$\mathrm{D}$から得られる$3$個の三角形からなる集合を$S_1$とする．$S_1$から一つ三角形を選び，さらにその三角形の$1$辺を選び，その中点を中心としてその三角形を$180\mathrm{°}$回転させる．このようにして$S_1$から得られる三角形すべてからなる集合を$S_2$とする．$S_2$は$7$個の三角形からなる集合であり，その中には$\mathrm{D}$も含まれる．一般に，自然数$n$に対して$S_n$まで定義されたとき，$S_n$から一つ三角形を選び，さらにその三角形の$1$辺を選び，その中点を中心としてその三角形を$180\mathrm{°}$回転させる．このようにして$S_n$から得られる三角形すべてからなる集合を$S_{n+1}$とする．次の問に答えよ．

(1)　$S_3$の要素をすべて図示せよ．

(2)　$m$を自然数とする．$S_{2m}$から一つ三角形を選び，その頂点それぞれと原点$(0,0)$との距離の最大値を考える．三角形の選び方をすべて考えたときの，この最大値の最大値$d_{2m}$を求めよ．