2016　早稲田大学　政治経済学部MathJax

【１】　$1$個のさいころと$1$枚の硬貨がある．はじめにさいころを投げて出た目を$X$とし，続けて硬貨を$X$回投げて表が出る回数を$Z$とする．以下の問に答えよ．答のみ解答欄に記入せよ．

(1)　$X=5$であったとき$Z=4$となる確率を求めよ．

(2)　$Z=4$となる確率を求めよ．

(3)　$Z\leqq 3$となる確率を求めよ．

【２】　座標空間において，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}(0,0,2)$を直径の両端とする球面を$S$とする．また$xy$平面上に放物線$C\text{：}y=x^2-2$を描き，$C$上に点$\mathrm{R}$をとる．線分$\mathrm{PR}$と球面$S$の交点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{Q}$から$xy$平面に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)　原点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{R}$までの距離を$r$とするとき，線分$\mathrm{QR}$の長さを$r$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{QH}$の長さを$h\text{，}$点$\mathrm{R}$の座標を$(x,y,0)$とするとき，$k\geqq 1$である場合に$x$がとる値の範囲を求めよ．

(3)　点$\mathrm{R}$が放物線$C$上のすべての点を動くとき，$h$を最小にする$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

【３】　次の不等式

$1+{\log }_{\sqrt{x}}(n^2)<{\log }_n\sqrt{x}<{\displaystyle \frac{1}{2}}(1+{\log }_{\sqrt{n}}3)\cdots$(＊)

を満たす自然数$n$と実数$x$について，以下の問に答えよ．

(1)　次の空欄にあてはまる数を解答欄に記入せよ．

　$t={\log }_{n}x$とおく．このとき，$1+{\log }_{\sqrt{x}}(n^2)=1+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(ア)}}}{t}}\text{，}{\log }_n\sqrt{x}=\boxed{\text{(イ)}}\times t$である．したがって，不等式$1+{\log }_{\sqrt{x}}(n^2)<{\log }_n\sqrt{x}$が満たされることは，$\boxed{\text{(ウ)}}<t<\boxed{\text{(エ)}}$または$t>\boxed{\text{(オ)}}$であることと同値である．

(2)　$x$も自然数であるとき，不等式(＊)を満たす$(n,x)$をすべて求めよ．答のみ解答欄に記入せよ．

【４】　以下の問に答えよ．

(1)　次の空欄にあてはまる式または数を解答欄に記入せよ．

　半径$1$の円に内接する長方形$\mathrm{ABCD}$がある．角$\mathrm{OAB}$を$x(0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とするとき，長方形$\mathrm{ABCD}$の面積は$\boxed{\text{(ア)}}$となる．したがって，$x=\boxed{\text{(イ)}}$のとき最大値$\boxed{\text{(ウ)}}$をとる．

(2)　半径$1$の円に内接する$n$角形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2\cdots {\mathrm{A}}_n$の内角${\mathrm{A}}_k{\mathrm{A}}_{k+1}{\mathrm{A}}_{k+2}$（$k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{，}n\geqq 3$：ただし，${\mathrm{A}}_{n+1}={\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_{n+2}={\mathrm{A}}_2$）がすべて$\alpha \text{（}0<\alpha <\pi \text{）}$に等しいとする．このとき，次の問に答えよ．

(ⅰ)　$a_k\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$は弧${\mathrm{A}}_k{\mathrm{A}}_{k+1}$の長さを表すとする．角$\mathrm{O}{\mathrm{A}}_k{\mathrm{A}}_{k+1}={\theta }_k(0<{\theta }_k<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とおくとき，$a_k\text{，}{a}_{k+1}$および$a_k+a_{k+1}$を，${\theta }_k\text{，}\alpha$を用いて表せ．

(ⅱ)　$n$が奇数のとき，$n$角形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2\cdots {\mathrm{A}}_n$は正$n$角形となることを示せ．

(ⅲ)　$n$が偶数のとき，${\theta }_1={\theta }_2=\cdots ={\theta }_{n-1}$を示せ．さらに，その等しい角を$\theta$とおいて，$n$角形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2\cdots {\mathrm{A}}_n$の面積$S_n(\theta )$を$\alpha \text{，}\theta$を用いて表せ．

(ⅳ)　$\alpha$を$n$の式で表し，(ⅲ)における$S_n(\theta )$の最大値とそのときの$\theta$を$n$の式で表せ．答のみ解答欄に記入せよ．