2016　南山大　全学統一入試　2月7日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　方程式$x^3+x^2-4x+2=0$を解くと$x=\boxed{\text{ア}}$であり，方程式$(x^2+2x+4)(x^2+2x-3)+6=0$を解くと$x=\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3\text{，}\mathrm{AC}=2\text{，}\angle \mathrm{A}=60\mathrm{°}$とし，$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．このとき，$\mathrm{BC}$の長さを求めると$\mathrm{BC}=\boxed{\text{ウ}}$であり，線分$\mathrm{AD}$の長さを求めると$\mathrm{AD}=\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　$3$個のさいころを同時に投げるとき，出る目の積が$54$の倍数になる確率は$\boxed{\text{オ}}$であり，$16$の倍数になる確率は$\boxed{\text{カ}}$である．

【２】　座標平面において，曲線$C\text{：}y=|x^2+2x|$と直線$l$を考える．$l$は，点$(-2,0)$を通り，傾きが$a$であり，$C$と$3$個の共有点をもつ．

(1)　$a$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　$C$と$l$で囲まれた$2$つの部分のうち，$l$の上側の部分の面積を$S_1\text{，}$下側の部分の面積を$S_2$とする．$S_1$を$a$で表せ．

(3)　(2)の$S_2$を$a$で表せ．

(4)　(2)の$S_1$と$S_2$の和を$S$とする．$S$が最小となるときの$a$の値を求めよ．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　$2$つの関数$f(x)=\left|x\right|\text{，}g(x)=ax+a^2+3a+1$がある．$g(0)>f(0)$となるとき，$a$のとりうる値の範囲は$\boxed{\text{ア}}$である．また，$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフが$2$つの交点をもつとき，$a$のとりうる値の範囲は$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　次のデータは，$5$個の乾電池について，ある実験で用いたときの持続時間$x$を調べたものである．

$103\text{，}93\text{，}98\text{，}88\text{，}108$（時間）

$x$の平均値は$\boxed{\text{ウ}}$時間であり，$x$の分散を求めると$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　$a_1=99\text{，}{a}_{n+1}=2a_n-100\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$で定義される数列$\{a_n\}$について，一般項$a_n$を$n$の式で表すと$a_n=\boxed{\text{オ}}$であり，$a_n<0$を満たす最小の自然数$n$の値を求めると$n=\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　$x$と$y$は$0<x<y\text{，}{\log }_{2}x+2{\log }_{4}y=1\text{，}({\log }_{2}x)({\log }_{4}y)=-6$を満たす．$s={\log }_{2}x\text{，}t={\log }_{2}y$とおき$s+t$と$st$の値を求めると$(s+t,st)=\boxed{\text{キ}}$である．また，$x$と$y$の値を求めると$(x,y)=\boxed{\text{ク}}$である．

【２】　$2$つの関数$f(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{-x}(\sin x+\cos x)\text{，}g(x)=e^{-x}\sin x$を考える．

(1)　$f(x)$を微分せよ．

(2)　定積分

$S_1={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}|g(x)|dx$

を求めよ．

(3)　$n$を自然数とする．

$S_n={\displaystyle {\int }_{2(n-1)\pi }^{2n\pi }}|g(x)|dx$

とするとき，${\displaystyle \frac{S_{n+1}}{S_n}}$を求めよ．

(4)　無限級数の和

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{S}_n$

を求めよ．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$4$点$\mathrm{A}(2,0,4)\text{，}\mathrm{B}(0,4,0)\text{，}\mathrm{C}(3,1,0)\text{，}\mathrm{D}(-1,0,1)$がある．

(1)　$\angle \mathrm{BCD}$を求めよ．

(2)　$▵\mathrm{BCD}$の面積$S$を求めよ．

(3)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$を通る球面の半径と中心の座標を求めよ．