2016　南山大　経済学部Ａ・Ｂ2月10日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　$2$次関数$y=2x^2-4mx-m+2$のグラフと$x$軸の正の部分が異なる$2$点で交わるような定数$m$の値の範囲は，$\boxed{\text{ア}}<m<\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=3\text{，}\mathrm{BC}=2\text{，}\mathrm{CD}=5\text{，}\angle \mathrm{B}=120\mathrm{°}\text{，}\mathrm{AD}>\mathrm{BC}$とする．このとき，$\mathrm{AD}=\boxed{\text{ウ}}$であり，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　整式$P(x)=x^4-4x^3+a{x}^2+bx-8$が$x-1$で割り切れ，$x+1$で割ると$-2$余るとき，$(a,b)=\boxed{\text{オ}}$である．このとき，$P(x)$に$x=2+\sqrt{3}i$を代入した値は$\boxed{\text{カ}}$である．ただし，$i$は虚数単位である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　点$(2,6)$を中心とし，直線$x+3y=15$に接する円の半径は$\boxed{\text{キ}}$であり，接点の座標は$\boxed{\text{ク}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　$2$つの方程式$2^{2x}-2^y=-14\text{，}{2}^{2x+y}=32$を同時に満たす$x\text{，}y$の値は，$(x,y)=\boxed{\text{ケ}}$である．また，不等式$2^{2x}-2^{x+1}-8<0$の解は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　$xy$平面上に，放物線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+1$と$2$つの直線$l_1\text{：}y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+11\text{，}{l}_2\text{：}y=-ax+11$がある．点$\mathrm{P}(p,-{\displaystyle \frac{1}{2}}p+11)$で$C$と$l_1$が交わり，点$\mathrm{Q}(q,-aq+11)$で$C$と$l_2$が交わる．ただし，$a>{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}p>0\text{，}q>0$とする．

(1)　$p$の値を求めよ．

(2)　$q$を$a$で表せ．

(3)　$\mathrm{Q}$を通り$y$軸に平行な直線を$l_3$とし，$l_1$と$l_3$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{R}$を通り$x$軸に平行な直線を$l_4$とする．このとき，$C\text{，}y$軸，$l_3\text{，}$および$l_4$で囲まれた部分の面積$S$を$q$で表せ．

(4)　(3)の$S$が最大となる$a$を求めよ．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　$2$ つの実数$x\text{，}y$が，$4$つの不等式$x\geqq 0\text{，}y\geqq 0\text{，}x+3y\leqq 15\text{，}2x+y\leqq 10$を同時に満たすとき，$x+y$の最大値は$\boxed{\text{オ}}$であり，$8x+3y$の最大値は$\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　赤いタクシー$1$台と青いタクシー$1$台がある．タクシーにはそれぞれ，前に$1$つと後ろに$3$つの客席がある．ただし，後ろの$3$席は区別しない．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$の$6$人の脚がそれら$2$台のタクシーに分乗する．前の席か後ろの席かを区別しない場合の分乗の仕方は$\boxed{\text{キ}}$通りである．また，前の席か後ろの席かを区別する場合の分乗の仕方は$\boxed{\text{ク}}$通りである．

【１】(5)　四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とし，$\mathrm{DE}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$で表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\boxed{\text{ケ}}$である．また，$\overrightarrow{\mathrm{OF}}=s\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AG}}=t\overrightarrow{\mathrm{AB}}$を満たす$2$点$\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}$を通る直線が$\mathrm{P}$を通るとき，実数$s\text{，}t$の値は，$(s,t)=\boxed{\text{コ}}$である．

【３】　$n$は自然数とする．$xy$平面上の$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(n,0)\text{，}\mathrm{B}(0,{\displaystyle \frac{1}{2}}n)$を頂点とする三角形の周および内部にある格子点（$x$座標，$y$座標がともに整数である点）の個数を$a_n$とする．

(1)　$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}{a}_4$の値を，それぞれ求めよ．

(2)　$k$は，$0\leqq k\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}n$を満たす整数とする．三角形$\mathrm{OAB}$の周および内部について直線$y=k$上にある格子点の個数を，$n$と$k$で表せ．

(3)　$n$が奇数のとき，$a_n$を$n$で表せ．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　関数$y=2{\sin }^{2}x$の第$2$次導関数を求めると$y^{″}=\boxed{\text{ケ}}$である．また，第$8$次導関数を求めると$y^{(8)}=\boxed{\text{コ}}$である．

【３】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{\log 2x}{x}}\text{（}x>0\text{）}$は，$x=a$において極値をとり，曲線$y=f(x)$上の点$(b,f(b))$は変曲点である．また，曲線$y=f(x)$は点$(c,0)$で$x$軸と交わる．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c$を求めよ．

(2)　${\displaystyle {\int }_a^b}f(x)dx$を求めよ．

(3)　$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log x}{x}}=0$であることを利用して，$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log 2x}{x}}$を求めよ．

(4)　$k$を実数とするとき，$x$の方程式$\log 2x=kx$の異なる実数解の個数を求めよ．