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2016-14576-0601
2016 南山大学 理工学部B方式 2月11日実施
易□ 並□ 難□
【1】 の中に答を入れよ.
(1) a ,b を実数とし, a≠0 とする.放物線 y =a⁢x 2-3⁢ x+b の頂点の座標を a と b で表すと ア である.また,この放物線が点 ( 1 2, 1) を通り, x 軸と接するとき, a と b の値を求めると ( a,b) = イ である.
2016-14576-0602
(2) 関数 f ⁡(x )= 12⁢ (e x+e -x) を考える. ex+ e-x =t とおくとき, f⁡( 2⁢x ) を t で表すと ウ である.また,関数 y =f⁡( 2⁢x) -f⁡( x)- {f⁡ (x) }2 が最小となるのは x = エ のときである.
2016-14576-0603
(3) 複素数平面上の点 A ⁡(α ), B⁡ (β ), C⁡ (γ ) を頂点とする正三角形がある. α=3 +2⁢i , γ=- 1+2⁢ i であり, β は虚部が正である.このとき β を求めると β = オ である.また点 D⁡ (δ ) があり, |δ -α| =2 ,∠ ADB= π:2 を満たすとき, δ を求めると δ = カ である.
2016-14576-0604
(4) c ,o , m ,m , i ,t , t ,e , e の 9 枚のカードのすべてを横一列に並べるとき, 2 つの m が隣り合わない確率を求めると キ である.また, 3 つの事象「 2 つの m が隣り合う」.「 2 つの t が隣り合う」,「 2 つの e が隣り合う」が同時に起こる確率を求めると ク である.
2016-14576-0605
【2】 3 辺の長さが OA =3 ,OB= 5, AB=4 である ▵ OAB において,辺 OA の中点を P , 辺 AB の中点を C , 辺 OB を t :(1 -t) に内分する点を Q とする.ただし, 0<t< 1 である.
(1) ▵OPQ の面積 S を t で表せ.さらに, S が ▵ OAB の面積の 13 となる t の値を求めよ.
(2) 線分 PQ の長さが最小となる t の値を求めよ.
(3) 線分 PQ が線分 OC と直交する t の値を求めよ.
2016-14576-0606
【3】 関数 f ⁡(x )=sin ⁡2⁢x を考える.
(1) 導関数 f ′⁡( x) を求めよ.
(2) 0≦x≦ π 4 のとき, f⁡( x) のとりうる値の範囲を求めよ.
(3) sin⁡2 ⁢x=t と置き換えることにより,不定積分
∫ (sin 5⁡2⁢ x+sin2 ⁡2⁢x )⁢cos ⁡2⁢x ⁢dx
を求めよ.
(4) 定積分
I= ∫0π 4( sin5⁡ 2⁢x+ sin2⁡2 ⁢x) ⁢cos⁡2 ⁢x⁢dx
の値を求めよ.
(5) 次の等式を満たす関数 g ⁡(x ) を求めよ.
g⁡( x)= sin5⁡2 ⁢x+sin 2⁡2⁢ x+ ∫0π 4g ⁡(y )⁢cos ⁡2⁢y ⁢dy