2016　南山大　外国語・法2月12日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　$t=x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$とおく．$f(x)=3x^2-4x+2-{\displaystyle \frac{4}{x}}+{\displaystyle \frac{3}{x^2}}$を$t$の$2$次式で表すと$\boxed{\text{ア}}$である．また，方程式$f(x)=0$の解は$x=\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$({\log }_{2}7)({\log }_{7}8)$を計算すると$\boxed{\text{ウ}}$である．不等式$\{x^2-({\log }_{2}7+{\log }_{7}8)x+3\}(x-2)\leqq 0$を解くと$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　$2$つの関数$f(x)=-x^2+4x-4a+14\text{，}g(x)=x^2+2x-a^2+19$がある．$-2\leqq x\leqq 3$を満たすすべての$x$に対して不等式$f(x)>g(x)$が成り立つとき，定数$a$のとりうる値の範囲は$\boxed{\text{オ}}$である．また，$-2\leqq x\leqq 3$の範囲で不等式$f(x)>g(x)$が解をもつとき，$a$のとりうる値の範囲は$\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　半径$2$の円$U$と半径$3$の円$V$があり，中心間の距離は$4$である．$2$つの円の交点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．線分$\mathrm{AB}$の長さを求めると$\mathrm{AB}=\boxed{\text{キ}}$である．$U$上に，$\mathrm{A}$とも$\mathrm{B}$とも異なる点$\mathrm{C}$を考える．$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{C}$を通る直線は$V$と$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{D}$で交わるとする．$▵\mathrm{BCD}$の面積が最大になるように$\mathrm{C}$を定めるとき，その面積を求めると$\boxed{\text{ク}}$である．

【２】　$2$つの放物線$C_1\text{：}y=x^2$と$C_2\text{：}y=-x^2+2x+k\text{，}$および$C_1$上の点$\mathrm{A}(a,a^2)$を考える．

(1)　$\mathrm{A}$における$C_1$の接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　(1)の$l$が$C_2$に接するとき，$k$を$a$で表せ．

(3)　$a$が変化するとき，(2)の$k$の最大値とそのときの$a$の値を求めよ．

(4)　$k$と$a$が(3)で求めた値をとるとき，$l$と$C_2$と直線$x=0$とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ．