2016　同志社大　理系学部2月4日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(1)　$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．関数$f(\theta )=\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta$は最小値$\boxed{\text{ア}}$を$\theta =\boxed{\text{イ}}$でとる．関数$g(\theta )=\sqrt{3}f(\theta )-2(\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{3}})$は最小値$\boxed{\text{ウ}}$を$\theta =\boxed{\text{エ}}$でとる．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(2)　箱から玉を$1$個取り出し，この玉に$1$個の玉を新たに加えた合計$2$個の玉を箱に戻す試行を繰り返す．新たに加える玉の色は白あるいは黒のみとする．最初に，$2$個の白玉と$3$個の黒玉が入っている箱を考える．新たに加える玉の色は取り出した玉と同色とすると，$3$回目の試行において白玉を取り出す確率は$\boxed{\text{オ}}\text{，}n$回目の試行において白玉を取り出す確率$P_n$は$\boxed{\text{カ}}\text{，}$極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{P}_n$は$\boxed{\text{キ}}$である．次に，$3$個の白玉と$4$個の黒玉が入っている箱を考える．新たに加える玉の色は取り出した玉と異なる色とすると，$3$回目の試行において白玉を取り出す確率は$\boxed{\text{ク}}$である．$n$回目の試行において白玉を取り出す確率を$Q_n$とすると，$Q_n$は漸化式$Q_n=\boxed{\text{ケ}}{Q}_{n-1}+{\displaystyle \frac{1}{6+n}}\text{（}n\geqq 2\text{）}$を満たし，極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{Q}_n$は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(u)=\log (\sqrt{u}-1)-\log (\sqrt{u}+1)$の導関数$f^{\prime }(u)$を求めよ．

(2)　関数$F(x)=\log (\sqrt{e^{2x}+1}-1)-\log (\sqrt{e^{2x}+1}+1)$の導関数$F^{\prime }(x)$を求めよ．

(3)　等式$\sqrt{e^{2x}+1}={\displaystyle \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{2x}+1}}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{e^{2x}+1}}}$を用いて，不定積分${\displaystyle \int }\sqrt{e^{2x}+1}dx$を求めよ．

(4)　曲線$y=e^x({\displaystyle \frac{1}{2}}\log 8\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}\log 24)$の長さを求めよ．

【３】　座標空間内の$2$点$\mathrm{A}(0,1,5)\text{，}\mathrm{B}(5,6,0)$を通る直線を$l$とする．点$\mathrm{P}(4,8,13)$および直線$l$上の$2$点$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$を頂点とする$▵\mathrm{PQR}$が正三角形であるとする．次の問いに答えよ．

【４】　$n$を自然数，$k$を$0$以上の整数とする．また，$f(x)=|x\sin (nx)|\text{，}{x}_k={\displaystyle \frac{k\pi }{n}}\text{，}{\alpha }_k={\displaystyle \frac{x_k+x_{k+1}}{2}}$とする．次の問いに答えよ．