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2016-14861-0501
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2016 同志社大学 文化情報,スポーツ健康科学部理系,生命医科学部
2月7日実施
易□ 並□ 難□
【1】 次の に適する数または式を,解答用紙の同じ記号のついた の中に記入せよ.
(1) 自然数 n に対して In= ∫ 0π2 sin n⁡x ⁢dx とする. I2 = ア である. n≧3 とし, sin⁡x =(- cos⁡x )′ に注意すると,部分積分法により, In = イ ⁢ In- 2 を得る. m を 3 以上の自然数とすると
I2⁢ n+1 = ウ (2 ⁢m+1 )⁢ (2⁢ m-1) ⁢(2 ⁢m-3 )⁢⋯ ⁢3 I2⁢ m = エ (2 ⁢m) ⁢(2 ⁢m-2 )⁢( 2⁢m- 4)⁢ ⋯⁢2 ⋅ π 2
である.また, 0<I 2⁢m +2< I2⁢ m+1 <I2 ⁢m であるから limm→ ∞ I2⁢ m+1 I2 ⁢m = オ なので,
am= (2 ⁢m) 2⁢ (2 ⁢m-2 )2 ⁢( 2⁢m- 4) 2⁢⋯ ⁢22 (2 ⁢m+1 )⁢ (2 ⁢m-1 )2 ⁢( 2⁢m- 3) 2⁢⋯ ⁢32
とすると, limm →∞ am = カ である.
2016-14861-0502
(2) 2016 と 2800 の最大公約数は d = キ であり,最小公倍数は ク である.また,方程式 2016 ⁢x+2800 ⁢y=d の整数解のうち, |x |+ |y | が最小になるものは, x= ケ , y= コ である.
2016-14861-0503
【2】 ▵OAB において,線分 OA を 3 :1 に外分する点を M , 線分 OB を 2 :1 に外分する点を N とする. OA→ =a → ,OB →= b→ として,次の問いに答えよ.
(1) 実数 s , t は 0 <s<1 , 0<t <1 を満たす.線分 AN を 1 -s:s に内分する点を P , 線分 BM を 1 -t:t に内分する点を Q とする. OP→ を a→ , b→ ,s を用いて表せ.また, OQ→ を a→ , b→ , t を用いて表せ.
(2) 2 直線 AN , BM の交点を D とするとき, OD→ を a→ , b→ を用いて表せ.
(3) 2 直線 OD , AB の交点を E とするとき, OE→ を a→ , b→ を用いて表せ.
(4) 直線 EP が直線 OB に平行で,直線 EQ が直線 OA に平行であるとき, ▵OAB の面積 S と ▵ ETQ の面積 T について TS を求めよ.
2016-14861-0504
【3】 複素数
α=( 3-1 )+( 3+1 )⁢i
について,次の問いに答えよ.
(1) α2 を計算せよ.
(2) α を極形式で表せ.ただし, α の偏角 θ の範囲は 0 ≦θ< 2⁢π とする.
(3) 方程式 x3= α を解き,解を極形式で表せ.
(4) n を自然数とする.複素数 w n を
wn =(1 +i) ⁢αn
によって定めるとき, wn が実数となる最小の自然数 n を求めよ.
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【4】 n を自然数とする.関数 fn⁡ (x ) を
fn ⁡(x )=1 + ∑k= 12⁢ n (- 1) k⁢x k
で定める. a を 0 <a≦ 1 を満たす定数として,次の問いに答えよ.
(1) 定積分 ∫ 0a d x1+ x を求めよ.
(2) 次の等式が成立することを示せ.
∫ 0a fn⁡ (x )⁢d x= ∑k =12 ⁢n+1 ( -1) k+1 ⁢a kk
(3) 次の不等式が成立することを示せ.
0< ∫0a ( fn⁡ (x) -1 1+x ) ⁢dx< 1 2⁢n+ 2
(4) 無限級数 ∑k =1∞ ( -1) k+1 ⁢a kk の和を求めよ.