2016 同志社大 理系学部2月7日実施MathJax

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2016 同志社大学 文化情報,スポーツ健康科学部理系,生命医科学部

2月7日実施

易□ 並□ 難□

【1】 次の   に適する数または式を,解答用紙の同じ記号のついた   の中に記入せよ.

(1) 自然数 n に対して In= 0π2 sin nx dx とする. I2 = である. n3 とし, sinx =(- cosx ) に注意すると,部分積分法により, In = In- 2 を得る. m 3 以上の自然数とすると

I2 n+1 = (2 m+1 ) (2 m-1) (2 m-3 ) 3 I2 m = (2 m) (2 m-2 )( 2m- 4) 2 π 2

である.また, 0<I 2m +2< I2 m+1 <I2 m であるから limm I2 m+1 I2 m = なので,

am= (2 m) 2 (2 m-2 )2 ( 2m- 4) 2 22 (2 m+1 ) (2 m-1 )2 ( 2m- 3) 2 32

とすると, limm am = である.

2016 同志社大学 文化情報,スポーツ健康科学部理系,生命医科学部

2月7日実施

易□ 並□ 難□

【1】 次の   に適する数または式を,解答用紙の同じ記号のついた   の中に記入せよ.

(2)  2016 2800 の最大公約数は d = であり,最小公倍数は である.また,方程式 2016 x+2800 y=d の整数解のうち, |x |+ |y | が最小になるものは, x= y= である.

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2月7日実施

易□ 並□ 難□

【2】  OAB において,線分 OA 3 :1 に外分する点を M 線分 OB 2 :1 に外分する点を N とする. OA =a OB = b として,次の問いに答えよ.

(1) 実数 s t 0 <s<1 0<t <1 を満たす.線分 AN 1 -s:s に内分する点を P 線分 BM 1 -t:t に内分する点を Q とする. OP a b s を用いて表せ.また, OQ a b t を用いて表せ.

(2)  2 直線 AN BM の交点を D とするとき, OD a b を用いて表せ.

(3)  2 直線 OD AB の交点を E とするとき, OE a b を用いて表せ.

(4) 直線 EP が直線 OB に平行で,直線 EQ が直線 OA に平行であるとき, OAB の面積 S ETQ の面積 T について TS を求めよ.

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2月7日実施

易□ 並□ 難□

【3】 複素数

α=( 3-1 )+( 3+1 )i

について,次の問いに答えよ.

(1)  α2 を計算せよ.

(2)  α を極形式で表せ.ただし, α の偏角 θ の範囲は 0 θ< 2π とする.

(3) 方程式 x3= α を解き,解を極形式で表せ.

(4)  n を自然数とする.複素数 w n

wn =(1 +i) αn

によって定めるとき, wn が実数となる最小の自然数 n を求めよ.

2016 同志社大学 文化情報,スポーツ健康科学部理系,生命医科学部

2月7日実施

易□ 並□ 難□

【4】  n を自然数とする.関数 fn (x )

fn (x )=1 + k= 12 n (- 1) kx k

で定める. a 0 <a 1 を満たす定数として,次の問いに答えよ.

(1) 定積分 0a d x1+ x を求めよ.

(2) 次の等式が成立することを示せ.

0a fn (x )d x= k =12 n+1 ( -1) k+1 a kk

(3) 次の不等式が成立することを示せ.

0< 0a ( fn (x) -1 1+x ) dx< 1 2n+ 2

(4) 無限級数 k =1 ( -1) k+1 a kk の和を求めよ.

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