2016　同志社大　理工学部2月10日実施MathJax

$(3+9i)\alpha -(8+4i)\beta +(5-5i)\gamma =0$

が成立するとき，次の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{\beta -\gamma }{\alpha -\gamma }}$の実部と虚部を求めよ．

(2)　$\angle \mathrm{ACB}$の大きさと${\displaystyle \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}}$を求めよ．

(3)　${\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}}$を求めよ．

(1)　$2$直線$l\text{，}m$の交点$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．また，直線$l$と$x$軸との交点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．

(2)　$t$が実数全体を動くとき，点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

(3)　$t$が$-\sqrt{5}\leqq t\leqq 0$の範囲で動くとき，線分$\mathrm{PQ}$が通過する領域の面積を求めよ．

$F_n(\theta )={\displaystyle \frac{\sin n\theta }{\sin \theta }}\text{（}0<\theta <\pi \text{）}$

として，次の問いに答えよ．

(1)　$n\geqq 3$のとき，$F_{n+1}(\theta )-F_{n-1}(\theta )$を$\cos n\theta$を用いて表せ．

(2)　$n$が偶数のとき，$F_n(\theta )$を$\cos \theta \text{，}\cos 2\theta \text{，}\cos 3\theta \text{，}\cdots \text{，}\cos (n-1)\theta$を用いて表せ．

(3)　$m$を自然数とするとき，数学的帰納法を用いて，等式

$F_{2^m}(\theta )=2^m\cos \theta \cos 2\theta \cos 2^2\theta \cdots \cos 2^{m-1}\theta$

が成立することを示せ．

(4)　自然数$k\text{，}l$に対して，定積分${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}\cos kx\cos lxdx$を求めよ．

(5)　自然数$m$に対して，定積分${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{(\cos x\cos 2x\cos 2^{2}x\cdots \cos 2^{m-1}x)}^{2}dx$を求めよ．