2016　同志社大　文化情報学部2月27日実施MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\sqrt{2}\text{，}\mathrm{BC}=3\text{，}\angle \mathrm{B}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$とし，$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線が$\mathrm{BC}$と交わる点を$\mathrm{D}$とする．このときの線分$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$2016$の約数の個数とすべての約数の和を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　関数$f(x)=-x^2+2x+a$のグラフと関数$g(x)=(x-2)(x-1)x(x+1)$のグラフが共有点を持たないための$a$が満たすべき条件を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(4)　$a>1$とする．${\log }_a(a^2-2)>0$を満たす$a$の範囲を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(5)　$\tan 2\theta =2$のときの$\tan \theta$を求めよ．ただし，$\tan \theta >0$とする．

【２】　$f(x)=x^3-x^2$とする．曲線$C\text{：}y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(p,f(p))$における曲線$C$の接線を$l$とする．また，曲線$C$と接線$l$との共有点で点$\mathrm{P}$と異なる点を点$\mathrm{Q}(q,f(q))$とする．点$\mathrm{P}$と異なる，曲線$C\text{：}y=f(x)$上の点$\mathrm{R}(r,f(r))$における曲線$C$の接線を$m$とする．$l$と$m$は平行である．ただし$p\ne {\displaystyle \frac{1}{3}}$とする．

　次の問いに答えよ．

(1)　接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　$q$を$p$を用いて表せ．

(3)　曲線$C$と接線$l$で囲まれた部分の面積を$p$を用いて表せ．

(4)　$r$を$p$を用いて表せ．

(5)　三角形$\mathrm{PQR}$の面積を$p$を用いて表せ．

【３】　$▵\mathrm{OAB}$の重心を$\mathrm{G}\text{，}$垂心を$\mathrm{H}\text{，}$外心を$\mathrm{I}$とする．また，直線$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{C}$をとり，直線$\mathrm{OA}$と直線$\mathrm{BC}$は直交するとする．また，辺$\mathrm{OA}$の中点を通り直線$\mathrm{OA}$に垂直な直線が直線$\mathrm{OB}$と交わる点を$\mathrm{D}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\left|\overrightarrow{a}\right|=2\text{，}\left|\overrightarrow{b}\right|=3\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=3$とする．

　次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を，$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を，それぞれ，$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を，それぞれ，$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(4)　${\displaystyle \frac{\left|\overrightarrow{\mathrm{GH}}\right|}{\left|\overrightarrow{\mathrm{GI}}\right|}}$を求めよ．