2016　立命館大　文系学部Ａ方式2月1日実施MathJax

【１】

(1)　$200$以上$300$以下の自然数のうち，$7$で割ると$2$余る数を小さいものから順に並べた数列は，初項が$\boxed{\text{ア}}\text{，}$末項が$\boxed{\text{イ}}\text{，}$項数が$\boxed{\text{ウ}}$の等差数列となる．この数列の初項から末項までの和は$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】

(2)　ある会社の従業員$20$人の$1$ヶ月あたりの給与が次のようになっていた．

　給与の範囲は$\boxed{\text{オ}}\text{〔万円〕，}$平均値は$\boxed{\text{カ}}\text{〔万円〕，}$最頻値は$\boxed{\text{キ}}\text{〔万円〕，}$中央値は$\boxed{\text{ク}}\text{〔万円〕}$である．次に，分散は$\boxed{\text{ケ}}\text{〔万円}\times \text{万円〕，}$恭順偏差は$\boxed{\text{コ}}\text{〔万円〕}$となる．

【１】

(3)　$2$次方程式

$x^2-(k+4)x-{\displaystyle \frac{k}{2}}+10=0\cdots \text{①}$

が$1\leqq x\leqq 4$の範囲に少なくとも$1$つの実数解をもつための定数$k$の値の範囲を次のようにして求める．

　まず，$\text{①}$を変形すると，$x^2-4x+10=kx+{\displaystyle \frac{k}{2}}$となる．

放物線$y=x^2-4x+10\cdots \text{②}$

の頂点の座標は$(\boxed{\text{サ}},\boxed{\text{シ}})$である．

直線$y=kx+{\displaystyle \frac{k}{2}}\cdots \text{③}$

は，$k$の値にかかわらず，定点$(\boxed{\text{ス}},\boxed{\text{セ}})$を通る．

　放物線$\text{②}$と直線$\text{③}$が$1\leqq x\leqq 4$の範囲で接するとき，定数$k$の値は$k=\boxed{\text{ソ}}$である．

　よって，求める定数$k$の値の範囲は$\boxed{\text{タ}}$である．

【２】　ある企業が製品を$x$キログラム生産するためには，費用として$C$円を要する．費用$C$は生産量$x$の関数

$C={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-16x^2+360x$（ただし，$x\geqq 0$）

として表されるものとする．$C$を$x$で微分し変形すると，${(x-\boxed{\text{ア}})}^2+\boxed{\text{イ}}$となるので，$C$は$x$について増加する．ただし，$\boxed{\text{ア}}\text{，}\boxed{\text{イ}}$は$x$を含まない．生産した製品はすべて売ることができ，売れ残りはないとする．

　製品$1$キログラムあたりの販売価格が$p$円であるとき，企業の収入$R$は$x$の関数

$R=px$

となり，企業の利益$Q$は，収入と費用の差

$Q=R-C$

となる．たとえば，販売価格が$p=300\text{，}$生産量が$x=6$のとき，企業の利益$Q$は$\boxed{\text{ウ}}$円である．

　企業は利益$Q$が最大となるように生産量$x$を設定する．販売価格が$p=300$のときには，企業が生産量を$x=\boxed{\text{エ}}$と設定する．また，販売価格が$p=\boxed{\text{オ}}$のときには，企業は生産量を$x=32$と設定する．

　次に，販売価格が$p=108$の場合を考える．$x=\boxed{\text{カ}}$のときに利益$Q$は極大値$\boxed{\text{キ}}$をとり，その値は負である．この場合，企業が生産を行うと損失が発生するので，生産を行わない．

　企業が正の利益を得ることができるのは，販売価格$p$が$\boxed{\text{ク}}$円を上回るときである．

【３】　空間に球面$S\text{：}{x}^2+y^2+z^2-4z=0$と定点$\mathrm{A}(0,1,4)$がある．次の問いに答えよ．

(1)　球面$S$の中心$\mathrm{C}$の座標と半径を求めよ．

(2)　直線$\mathrm{AC}$と$xy$平面との交点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(3)　$xy$平面上に点$\mathrm{B}(4,-1,0)$をとるとき，直線$\mathrm{AB}$と球面$S$の共有点の座標を求めよ．

(4)　直線$\mathrm{AQ}$と球面$S$が共有点をもつように点$\mathrm{Q}$が$xy$平面上を動く．このとき，点$\mathrm{Q}$の動く範囲を求めて，それを$xy$平面上に図示せよ．