2016　立命館大　文系学部Ａ方式2月2日実施MathJax

【１】

(1)　相異なる自然数$a\text{，}b\text{，}c$は，$a<b<c$の関係を見たし，どの$2$つの数の和も残りの数で割ると$1$余る．

　$a+b$を$c$で割ったときの商を次のように求める．$1\leqq a<b<c$より，$a+b<2c$なので，$a+b$を$c$で割ったときの商を$q$とすると，$q$は$\boxed{\text{ア}}$か$\boxed{\text{イ}}$のいずれかである（ただし，$\boxed{\text{ア}}<\boxed{\text{イ}}$）．しかし，$q$を$\boxed{\text{ア}}$とすると，$a+b=1$となり，$1\leqq a<b$に反し不適である．よって，求める$q$は$\boxed{\text{イ}}$となる．

　次に，$a+c$を$b$で割ったときの商を求めると，$\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】

(2)　$▵\mathrm{ABC}$において，${\displaystyle \frac{\sin A}{4}}={\displaystyle \frac{\sin B}{5}}={\displaystyle \frac{\sin C}{6}}$が成り立っているとき，$3$辺の長さの比を最も簡単な整数の比で表すと，

$\mathrm{BC}:\mathrm{CA}:\mathrm{AB}=\boxed{\text{エ}}:\boxed{\text{オ}}:\boxed{\text{カ}}$

また，$\cos C=\boxed{\text{キ}}$となるので，$▵\mathrm{ABC}$の面積が$15\sqrt{7}$のとき，$\mathrm{AB}=\boxed{\text{ク}}$となる．

【１】

(3)　$x\text{，}y\text{，}z$は実数とする．次の$\boxed{\text{ケ}}\text{〜}\boxed{\text{シ}}$に最も適切なものを下の$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$から選び，記号で答えよ．

(a)　$x^2+2x-8\geqq 0$は，$x\geqq 5$であるための$\boxed{\text{ケ}}\text{．}$

(b)　$-{\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq x$は，$|x+2|\geqq |x-1|$であるための$\boxed{\text{コ}}\text{．}$

(c)　「$x+y+z=0$かつ$xy+yz+zx=0$」は，$x^3=y^3=z^3$であるための$\boxed{\text{サ}}\text{．}$

(d)　自然数$n$が奇数であることは，$2$次方程式$x^2+x=n$が整数の解をもたないための$\boxed{\text{シ}}\text{．}$

$\mathrm{A}$：必要十分条件である

$\mathrm{B}$：必要条件であるが十分条件ではない

$\mathrm{C}$：十分条件であるが必要条件ではない

$\mathrm{D}$：必要条件でも十分条件でもない

【２】　表１は，日本の一般成人に必要とされる栄養素のうち，ビタミン$\mathrm{A}\text{，}$ビタミン$\mathrm{C}\text{，}$ビタミン$\mathrm{E}$の$1$食当たりの必要摂取量の目安を示している．

　表２は，シーザーサラダ，ポテトサラダ，海草サラダ，オレンジジュース，カレーライス$100\mathrm{g}$あたりのビタミン$\mathrm{A}\text{，}$ビタミン$\mathrm{C}\text{，}$ビタミン$\mathrm{E}$の含有量，カロリー，および値段を示している．

　次の問いに答えよ．分数になるときには既約分数で答えよ．

(1)　海草サラダのみで，$1$食あたりのビタミン$\mathrm{A}$の必要摂取量を摂取するためには，最低$\boxed{\text{ア}}\mathrm{g}$食べる必要があり，$1$食あたりのビタミン$\mathrm{A}$とビタミン$\mathrm{E}$の必要摂取量を両方とも摂取するためには，最低$\boxed{\text{イ}}\mathrm{g}$食べる必要があり，そのときの金額は$\boxed{\text{ウ}}$円である．

(2)　海草サラダとオレンジジュースを飲食する場合を考える．オレンジジュースを$50\mathrm{g}$飲んで海草サラダを最低$\boxed{\text{エ}}\mathrm{g}$食べれば，ポテトサラダを$100\mathrm{g}$だけ食べたときと同じかもしくはより多くのビタミン$\mathrm{A}\text{，}$ビタミン$\mathrm{C}\text{，}$ビタミン$\mathrm{E}$を摂取することができる．

(3)　カレーライス$500\mathrm{g}$に加えてオレンジジュースを飲む場合を考える．摂取カロリーを合計$1200\mathrm{kcal}$以下にするためには，オレンジジュースは最大$\boxed{\text{オ}}\mathrm{g}$飲むことができる．

(4)　カレーライス$500\mathrm{g}$に加えてシーザーサラダとオレンジジュースを飲食するとき，ビタミン$\mathrm{A}\text{，}$ビタミン$\mathrm{C}\text{，}$ビタミン$\mathrm{E}$のすべてについて$1$食あたりの必要摂取量を満たし，カロリーを合計で$1200\mathrm{kcal}$以下に抑え，かつ，合計金額を最小にする方法を考える．

　シーザーサラダ$x$円分，オレンジジュース$y$円分を飲食するとき，各種のビタミンとカロリーの摂取量を$x\text{，}y$の不等式で表すと，

ビタミン$\mathrm{A}$については，$\boxed{\text{カ}}x+\boxed{\text{キ}}y+65\times 5\geqq 500$

ビタミン$\mathrm{C}$については，$0.1x+2y+0.6\times 5\geqq 40$

ビタミン$\mathrm{E}$については，$\boxed{\text{ク}}x+\boxed{\text{ケ}}y+0.24\times 5\geqq 4$

カロリーについては，$1.5x+4.5y+150\times 5\leqq 1200$

となる．

　これらの不等式を図示して分析すると，合計金額を最小にするのは，シーザーサラダを$\boxed{\text{コ}}\mathrm{g}$食べて，オレンジジュースを$\boxed{\text{サ}}\mathrm{g}$飲むときであることがわかる．このとき，摂取されるカロリーは$\boxed{\text{シ}}\mathrm{kcal}$である．

　次の表３の空欄は埋めなくてよい．必要があれば活用してもよい．

【３】　$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=6\text{，}\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\angle \mathrm{COA}=90\mathrm{°}$である四面体$\mathrm{OABC}$があり，$▵\mathrm{OAB}$の重心を$\mathrm{D}\text{，}$線分$\mathrm{CD}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{E}\text{，}▵\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{F}$とする．次に$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}$となるように$3$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$を定め，$▵\mathrm{PQR}$の重心を$\mathrm{T}$とする．さらに$\overrightarrow{\mathrm{RS}}=\overrightarrow{b}$となるように点$\mathrm{S}$を定める．

　次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{OE}:\mathrm{EF}$を求め，最も簡単な整数の比で答えよ．

(3)　$3$点$\mathrm{F}\text{，}\mathrm{T}\text{，}\mathrm{S}$が一直線上にあることを示せ．

(4)　線分$\mathrm{FT}$の長さを求めよ．

(5)　直線$\mathrm{OS}$は平面$\mathrm{PQR}$に垂直であることを示せ．

(6)　直線$\mathrm{EP}$は辺$\mathrm{OC}$と交わることを示せ．また，その交点を$\mathrm{U}$とするとき，線分$\mathrm{OU}$の長さを求めよ．