2016　立命館大　薬学部Ａ方式2月2日実施MathJax

【１】

(1)　$x$の関数$f(x)=\sin 2x-2\sin x-2\cos x+1\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$について

(a)　$t=\sin x+\cos x$のとき，$f(x)$を$t$で表した関数を$g(t)$とすると，$g(t)=\boxed{\text{ア}}$である．

　また，$t$のとりうる値の範囲は，$\boxed{\text{イ}}\leqq t\leqq \boxed{\text{ウ}}$である．

(b)　関数$|f(x)|$について

最大値は$x=\boxed{\text{エ}}$のとき，$\boxed{\text{オ}}$である．

最小値は$x=\boxed{\text{カ}}$のとき，$\boxed{\text{キ}}$である．

【１】

(2)　$x$の方程式$9^x-a\cdot 3^{x+1}+a+1=0$について

(a)　$a=-2$のとき，実数解は$x=\boxed{\text{ク}}$である．

(b)　異なる$2$つの正の実数解をもつとき，$a$の値の範囲は$\boxed{\text{ケ}}<a<\boxed{\text{コ}}$である．

【１】

(3)　数列$\{a_n\}$の第$n$項$a_n$を次のように定める．

「$n$桁の$3$進数のなかで$2$番目に大きい数を，$10$進数で表した数」

ただし，$3$進数とは$3$進法で表された数である．

このとき，$a_4=\boxed{\text{サ}}\text{，}{a}_n=\boxed{\text{シ}}$である．

　次に初項から第$n$項までの和を$S_n$とすると，$S_n=\boxed{\text{ス}}$である．

【２】　座標平面上において，放物線$C$は，$2$点$\mathrm{A}(-1,1)\text{，}\mathrm{B}(5,-2)$を通り，点,$\mathrm{A}$における接線が，$x$軸の正の向きと$45\mathrm{°}$の角をなす．このとき，次の問いに答えよ．

　放物線$C$の方程式は，

$y=\boxed{\text{ア}}$

である．放物線$C$と線分$\mathrm{BC}$で囲まれた部分の面積は，$\boxed{\text{イ}}$である．

　次に，線分$\mathrm{AB}$に直交する直線$l$を考える．直線$l$の方程式は，$y$切片を$n$とすると，

$y=\boxed{\text{ウ}}x+n$

である．ただし，$n$の値の範囲は，$\boxed{\text{エ}}\leqq n\leqq \boxed{\text{オ}}$である．

　さらに，直線$l$と放物線$C$との共有点を$\mathrm{M}\text{，}$直線$l$と線分$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{N}$とする．ただし，$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$が一致する場合はのぞく．

　$x$の値の範囲を，$-1<x<5$とする．点$\mathrm{M}$における放物線$C$の接線の傾きは，$n$を用いて表すと，$\boxed{\text{カ}}$である．したがって，線分$\mathrm{MN}$の長さが最大となる$n$の値は，$n=\boxed{\text{キ}}$である．

　また，直線$l$上に，点$\mathrm{M}$に対して点$\mathrm{N}$と反対側に任意の点$\mathrm{P}$をとる．点$\mathrm{P}$を中心にして線分$\mathrm{AB}$に接する円$Q$を考える．円$Q$と直線$\mathrm{AM}$の交点を$\mathrm{S}$と$\mathrm{T}$とするとき，$\mathrm{AS}\cdot \mathrm{AT}$の値は，$n$を用いて表すと，$\mathrm{AS}\cdot \mathrm{AT}=\boxed{\text{ク}}$である．

【３】　座標空間において，$4$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(2,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,2,0)\text{，}\mathrm{C}(0,-1,2)$がある．このとき，次の問いに答えよ．

　線分$\mathrm{AB}$を$t:(1-t)\text{（}0<t<1\text{）}$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{CA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{CP}}=\boxed{\text{ア}}$である．

　点$\mathrm{P}$が，点$\mathrm{C}$から線分$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の交点となるのは，$t=\boxed{\text{イ}}$のときである．このとき，点$\mathrm{P}$の座標は，$(\boxed{\text{ウ}},\boxed{\text{エ}},\boxed{\text{オ}})$であり，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\boxed{\text{カ}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\boxed{\text{キ}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$である．

　線分$\mathrm{BC}$と$z$軸との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\boxed{\text{ク}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\boxed{\text{ケ}}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$である．線分$\mathrm{AQ}$と線分$\mathrm{CP}$の交点と点$\mathrm{B}$を通る直線が，線分$\mathrm{CA}$と交わる点を$\mathrm{R}$とするとき，${\displaystyle \frac{\mathrm{CR}}{\mathrm{RA}}}=\boxed{\text{コ}}$である．

　$▵\mathrm{ABC}$の面積と$▵\mathrm{PQR}$の面積の比は$\boxed{\text{サ}}:1$であり，四面体$\mathrm{OPQR}$の体積は，$\boxed{\text{シ}}$である．

【４】　図に示すように，ある街には東西に$5$本，南北に$5$本の道がある．ただし，$1$区画の長さはすべて$1$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　最短距離で点$\mathrm{S}$から点$\mathrm{G}$へ行く経路を考える．

(a)　点$\mathrm{D}$を通る経路は，全部で$\boxed{\text{ア}}$通りである．

(b)　$\mathrm{DE}$間を通る経路は、全部で$\boxed{\text{イ}}$通りである．

(c)　点$\mathrm{D}$または点$\mathrm{E}$を通る経路は，全部で$\boxed{\text{ウ}}$通りである．

(2)　$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の$2$人が，点$\mathrm{S}$を同時に出発して，最短距離で点$\mathrm{E}$に向かって，毎分$1$の速さで，$t$分間移動するものとする．ただし，最短距離で行くすべての経路のなかで，どの経路を選ぶかは同様に確からしいものとする．

(a)　$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が$1$分間移動するものとする．$1$分後に同じ位置にいる確率は，$\boxed{\text{エ}}$である．

(b)　$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が$2$分間移動するものとする．$2$分後に点$\mathrm{A}$で初めて再会する確率は，$\boxed{\text{オ}}$である．ただし，$2$分後に点$\mathrm{A}$で初めて再会するとは，$1$分後に$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$は異なる位置にいた後，$2$分後に両者が点$\mathrm{A}$にいることを意味する．

(c)　$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が$6$分間移動するものとする．$6$分後に点$\mathrm{E}$で初めて再会する確率を求めることを考える．ただし，$6$分後に点$\mathrm{E}$で初めて再会するとは，$1$分後から$5$分後の間は$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$は異なる位置にいた後，$6$分後に両者が点$\mathrm{E}$にいることを意味する．

$\text{①}$　$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が$2$ 分後，$3$ 分後，$4$ 分後あるいは$5$分後に初めて再会する可能性がある位置は，全部で$\boxed{\text{カ}}$ か所である．

$\text{②}$　$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が点$\mathrm{E}$に到達する経路の組合せは，全部で$\boxed{\text{キ}}$通りである．

$\text{③}$　$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が点$\mathrm{B}$で初めて再会して点$\mathrm{E}$に到達する経路の組合せは，全部で$\boxed{\text{ク}}$通りであり，点$\mathrm{C}$で初めて再会して点$\mathrm{E}$に到達する経路の組合せは，全部で$\boxed{\text{ケ}}$通りである．

$\text{④}$　$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が点$\mathrm{E}$で初めて再会する確率は，$\boxed{\text{コ}}$である．