2016　立命館大　理系学部Ａ方式2月3日実施MathJax

【１】　空間において，点$\mathrm{A}(0,6,0)$を中心とする半径$3$の球面$S_1$上を動く点$\mathrm{Q}$を考える．さらに，原点を$\mathrm{O}$として，線分$\mathrm{OQ}$の中点を$\mathrm{P}$とする．

(1)　点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{P}$の位置ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{q}\text{，}$$\overrightarrow{r}$とする．このとき，$\overrightarrow{q}$はベクトル方程式$|\overrightarrow{q}-\boxed{\text{ア}}\overrightarrow{a}|=\boxed{\text{イ}}$を満たす．また，$\overrightarrow{q}$は$\overrightarrow{p}$を用いて$\overrightarrow{q}=\boxed{\text{ウ}}\overrightarrow{p}$と表せる．したがって，$\overrightarrow{p}$はベクトル方程式$|\overrightarrow{p}-\boxed{\text{エ}}\overrightarrow{a}|=\boxed{\text{オ}}$を満たす．ゆえに，点$\mathrm{P}$は半径$\boxed{\text{カ}}\text{，}$中心の座標$\boxed{\text{キ}}$の球面上を動く．この球面を$S_2$とする．

(2)　球面$S_1$上の点の座標を$(x,y,z)$とすると，$x\text{，}$$y\text{，}$$z$は方程式$\boxed{\text{ク}}$を満たす．同様に，球面$S_2$上の点$(x,y,z)$は方程式$\boxed{\text{ケ}}$を満たす．そこで，$2$つの球面$S_1$と$S_2$が交わってできる円を$C_1$とするとき，円$C_1$を含む平面の方程式は$\boxed{\text{コ}}$となる．このとき，円$C_1$の中心の座標は$\boxed{\text{サ}}$であり，半径は$\boxed{\text{シ}}$である．さらに，点$\mathrm{U}(0,-1,0)$に対し，線分$\mathrm{UQ}$の中点を$\mathrm{V}$とする．点$\mathrm{Q}$が球面$S_1$上を動くときの点$\mathrm{V}$の軌跡は球面となる．この球面を$S_3$とすると，$2$つの球面$S_1$と$S_3$が交わってできる円$C_2$の中心の座標は$\boxed{\text{ス}}$であり，半径は$\boxed{\text{セ}}$である．

【２】　実数$t$に関する関数$f(t)=a{e}^{ct}+b$を考える．ここで，$a\text{，}b\text{，}c$を実数とし，$a\ne 0$とする．また，$e$は自然対数の底とする．

(1)　関数$f(t)$が，$f(0)=0\text{，}t>0$で$f^{\prime }(t)+2f(t)=5$を満たすとすると$a=\boxed{\text{ソ}}\text{，}b=\boxed{\text{タ}}\text{，}c=\boxed{\text{チ}}$である．

(2)　実数$x$に対し，関数$f(t)$が，$f(0)=x\text{，}t>0$で$f^{\prime }(t)+2f(t)=5$を満たすとすると，$f(1)=\boxed{\text{ツ}}$であり，${\displaystyle {\int }_0^1}f(t)dt=\boxed{\text{テ}}$となる．

(3)　実数$y$に対し，関数$f(t)$が，$f(0)=y\text{，}t>0$で$f^{\prime }(t)+2f(t)=0$を満たすとすると，$f(1)=\boxed{\text{ト}}$であり，${\displaystyle {\int }_0^1}f(t)dt=\boxed{\text{ナ}}$となる．

(4)　$g(x)=\boxed{\text{ツ}}\text{，}h(y)=\boxed{\text{ト}}$として．

$d_1=0\text{．}{d}_{n+1}=h(g(d_n))$

で与えられる数列$\{d_n\}$を考えると，$\underset{n\to \infty }{\lim }{d}_n=\boxed{\text{ニ}}$となる．

【３】　以下$\alpha$は複素数$1+2i$を表す．

(1)　$\alpha$の偏角を$\theta$（ただし，$0\leqq \theta <2\pi$）とする．$\alpha$が表す点は第$\boxed{\text{ヌ}}$象限にあるので，

$(\boxed{\text{ヌ}}-1){\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <\boxed{\text{ヌ}}{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

である．また，

${\alpha }^4=\boxed{\text{ネ}}+\boxed{\text{ノ}}i$

より，

$(\boxed{\text{ハ}}-1){\displaystyle \frac{\pi }{2}}<4\theta <\boxed{\text{ハ}}{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

である．${\alpha }^{16}$の実部の符号は$\boxed{\text{ヒ}}\text{，}$虚部の符号は$\boxed{\text{フ}}$なので，

$(\boxed{\text{ヘ}}-1){\displaystyle \frac{\pi }{2}}<16\theta <\boxed{\text{ヘ}}{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

である．この不等式を使うと，$m\theta >20\pi$を満たす最小の自然数$m$について不等式

$\boxed{\text{ホ}}\leqq m\leqq \boxed{\text{ホ}}+5$

が成り立つことがわかる．

（注：$\boxed{\text{ヌ}}\text{，}\boxed{\text{ハ}}\text{，}\boxed{\text{ヘ}}\text{，}\boxed{\text{ホ}}$は自然数である．）

(2)　$0$以上の整数$n$について複素数平面上で複素数${\alpha }^n$を表す点を${\mathrm{P}}_n({\alpha }^n)$と書く．線分${\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_1$の長さは$2$であり，線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$と線分${\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3$の長さはそれぞれ$\boxed{\text{マ}}\text{，}\boxed{\text{ミ}}\text{，}$線分$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}$の長さは$\boxed{\text{ム}}$である．また，原点を$\mathrm{O}$としたとき，三角形$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}$の面積は$\boxed{\text{メ}}$である．

【４】　最初に$1$から$6$までのトランプのカード$6$枚を，表を上にして一列に並べる．そして，サイコロを振り，出た目に対して，その出た目の数のトランプのカードを裏返す，という試行を繰り返す．例えば，$3$回この試行を繰り返し，サイコロの出た目が順に$1\text{，}3\text{，}1$であったとすれば，裏が上になっているのは$3$のカードだけである．

　以下では，$m$回目の試行後に裏が上になっているトランプのカードが$k$枚である確率を$p_{m,k}$と表すことにする．$m$は自然数で，$k$は$0$から$6$までの整数である．

(1)　$p_{1,1}=1$であり，$p_{2,0}=\boxed{\text{モ}}\text{，}{p}_{2,1}=0\text{，}{p}_{2,2}=\boxed{\text{ヤ}}$である．また，$2$回目の試行後に裏が上になっているカードが$0$枚であるとき，$4$回目の試行後に裏が上になっているカードが$2$枚である確率は$\boxed{\text{ユ}}$である．一方，$2$回目の試行後に裏が上になっているカードが$2$枚であるとき，$4$回目の施行後に裏が上になっているカードが$2$枚である確率は${\displaystyle \frac{11}{18}}$である．

(2)　$p_{4,0}=\boxed{\text{ヨ}}\text{，}{p}_{4,2}=\boxed{\text{ラ}}\text{，}{p}_{4,4}=\boxed{\text{リ}}$である．

(3)　$m$回目の試行後に裏が上になっているカードが$k$枚である場合に，$m+2$回目の試行後にも裏が上になっているカードが$k$枚である確率は，$k=0$または$k=6$のとき$\boxed{\text{ル}}$であり，それ以外のとき，$k$を使って$\boxed{\text{レ}}$と書ける．