2016　立命館大　文系学部学部個別方式2月7日実施MathJax

【１】

(1)

(a)　$x>0\text{，}y>0\text{，}{x}^2+y^2=1$とする．$xy$の値は，$x=\boxed{\text{ア}}\text{，}y=\boxed{\text{イ}}$のとき，最大値$\boxed{\text{ウ}}$をとる．

(b)　$k={\displaystyle \frac{y}{x}}$（$x\text{，}y$は実数，$x\ne 0$）とする．$z={\displaystyle \frac{-x^2+xy+y^2}{x^2+xy+y^2}}$を$k$を用いて表すと，$z=\boxed{\text{エ}}$となる．よって，$z$の最小値は$\boxed{\text{オ}}$となる．

【１】

(2)　$25$名のクラスにおいて，クラス役員を無作為に$3$名選ぶことを考える．

　委員長，副委員長，書記を$1$名ずつ選ぶ組合せは，全部で$\boxed{\text{カ}}$通りである．一方，役職を決めずに役員$3$名を選ぶ組合せは，全部で$\boxed{\text{キ}}$通りである．

　男子$12$名，女子$13$名であるとき，選ばれる$3$名のクラス役員の中に女子が少なくとも$1$名含まれる確率は$\boxed{\text{ク}}$である．また，選ばれる$3$名のクラス役員の中に，男子および女子がそれぞれ少なくとも$1$名含まれる確率は$\boxed{\text{ケ}}$である．

【１】

(3)　$\mathrm{AB}=\sqrt{6}\text{，}\mathrm{BC}=\sqrt{2}\text{，}\mathrm{AC}=2\sqrt{2}$である直角三角形$\mathrm{ABC}$がある．辺$\mathrm{AB}$の$\mathrm{A}$の側への延長上に$\mathrm{AC}=\mathrm{AD}$となる点$\mathrm{D}$をとる．このとき，$\angle \mathrm{BCD}=\boxed{\text{コ}}\mathrm{°}\text{，}\tan \angle \mathrm{BCD}=\boxed{\text{サ}}+\sqrt{\boxed{\text{シ}}}\text{，}\mathrm{CD}=\boxed{\text{ス}}+\boxed{\text{セ}}\sqrt{3}$である．

　さらに，$\angle \mathrm{ADC}$の二等分線が$\mathrm{BC}$と交わる点を$\mathrm{E}$とおくと，$\mathrm{BE}=\boxed{\text{ソ}}-\boxed{\text{タ}}\sqrt{2}+\boxed{\text{チ}}\sqrt{3}-\boxed{\text{ツ}}\sqrt{6}$である．

　解答欄に該当する整数を書き入れなさい．

　ただし，$\sqrt{6}+\sqrt{3}+2+\sqrt{2}=(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{2}+1)$と因数分解できることを用いてよい．

【２】　$X=100[\text{万円}]$を$2$人に分けるとき，分配が均等か不均等かについて考える．

　$2$人に分けられた額をそれぞれ$x_1\text{，}{x}_2$で表し，$0\leqq x_1\leqq x_2\leqq 100$となるように並べ，$\{x_1,x_2\}$を分配と呼ぶ．ここで，$X=x_1+x_2=100$である．最も均等な分配$\{\boxed{\text{ア}},\boxed{\text{ア}}\}$を分配$\mathrm{A}\text{，}$最も不均等な分配$\{\boxed{\text{イ}},\boxed{\text{ウ}}\}$を分配$\mathrm{B}$とする．また，分配$\mathrm{C}\{20,80\}$と分配$\mathrm{D}\{40,60\}$を考える．さらに，${\displaystyle \frac{x_i}{100}}\text{（}i=1\text{，}2\text{）}$を分配比率，$p_1={\displaystyle \frac{1}{2}}$と$p_2=1$を累積人員比率，$q_1={\displaystyle \frac{x_1}{100}}$と$q_2={\displaystyle \frac{x_1+x_2}{100}}$を累積分配比率と呼ぶ．

　表１と表２は分配$\mathrm{C}$と分配$\mathrm{D}$の分配比率などを示している．

　$xy$平面上に，原点$(0,0)\text{，}$点$(p_1,q_1)\text{，}$点$(1,1)$を結んでできる折れ線をローレンツ曲線と呼ぶ．分配$\mathrm{C}$と分配$\mathrm{D}$のローレンツ曲線は，次の図のようになる．

　さらに，点$(0,0)$と点$(1,1)$を結んだ均等分配線とローレンツ曲線とで囲まれた図形の面積を集中面積と呼び，$\lambda$で表す．$\lambda$と$0.5$の比率をジニ係数と呼び，$G$で表す．すなわち，$G=2\lambda$である．ジニ係数$G$は，不均等の度合いが大きいほどその値が大きい．その意味で，ジニ係数$G$は不均等の度合いを示す指標となる．

　各分配の集中面積を計算すると，分配$\mathrm{A}$の集中面積は${\lambda }_{\mathrm{A}}=\boxed{\text{エ}}\text{，}$分配$\mathrm{B}$の集中面積は${\lambda }_{\mathrm{B}}=\boxed{\text{オ}}\text{，}$分配$\mathrm{C}$の集中面積は${\lambda }_{\mathrm{C}}=\boxed{\text{カ}}\text{，}$分配$\mathrm{D}$の集中面積は${\lambda }_{\mathrm{D}}=\boxed{\text{キ}}$となる．

　分配$\mathrm{C}$のジニ係数を求めると$\boxed{\text{ク}}$であり，分配$\mathrm{D}$のジニ係数を求めると$\boxed{\text{ケ}}$となる．ジニ係数を比べると，分配$\mathrm{C}$と分配$\mathrm{D}$のうち，より不均等な分配は，分配$\boxed{\text{コ}}$である．

　次に，ジニ係数が$0.4$になるのは，$x_1=\boxed{\text{サ}}[\text{万円}]$のときである．

　ただし，$\boxed{\text{コ}}$は，$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$で答えよ．

【３】　$a$を負の実数として，関数$f(x)\text{，}g(x)\text{，}d(x)$を

$f(x)=x^3-x$

$g(x)=f(x+a)-2a$

$d(x)=g(x)-f(x)$

とする．次の問いに答えよ．

(1)　$x$の方程式$d(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつような$a$の範囲を求めよ．

(2)　関数$d(x)$の最大値を$a$を用いて表せ．

(3)　$d(x)$の最大値を$a$の関数$h(a)$とし，(1)で求めた$a$の範囲において，$h(a)$の最大値を求めよ．

(4)　$a=-\sqrt{3}$のとき，曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．