2016　立命館大　文系学部A方式2月4日実施MathJax

【１】

(1)

(a)　$3$つの正の数$a\text{，}b\text{，}c$の平均値が$14\text{，}$標準偏差が$8$であるとき，$a^2+b^2+c^2=\boxed{\text{ア}}\text{，}ab+bc+ca=\boxed{\text{イ}}$である．

(b)　ある集団は$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$つのグループで構成される．データを集計したところ，それぞれのグループの個数，平均値，分散は下の表のようになった．このとき，集団全体の平均値は$\boxed{\text{ウ}}\text{，}$分散は$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】

(2)　$x={\displaystyle \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}}$とするとき，$x^2+x+1$の値は$\boxed{\text{オ}}$である．また，$x^3$の値は$\boxed{\text{カ}}$である．

　次に，$n$を$3$以上の自然数とするとき，整式$x^{2n}$を$x^2+x+1$で割った余りを求めると，$n=3k$のときは$\boxed{\text{キ}}\text{，}n=3k+1$のときは$\boxed{\text{ク}}\text{，}n=3k+2$のときは$\boxed{\text{ケ}}$となる．ただし$k$は自然数とする．

【１】

(3)　$▵\mathrm{ABC}$において，ベクトルの内積の値を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=p\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{CA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=q\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{BC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}}=r$とおく．次の問いについて，下の語群から最も適切なものを選び，その番号で答えよ．

(a)　$p=0$のとき，$▵\mathrm{ABC}$は$\boxed{\text{コ}}$となる三角形である．

【語群】$\text{①}$　角$\mathrm{A}$が直角$\text{②}$　角$\mathrm{B}$が直角$\text{③}$　角$\mathrm{C}$が直角

(b)　$p=q$のとき，$▵\mathrm{ABC}$は$\boxed{\text{サ}}$となる三角形である．

【語群】　$\text{①}$　$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}$　$\text{②}$　$\mathrm{BC}=\mathrm{CA}$　$\text{③}$　$\mathrm{CA}=\mathrm{AB}$

(c)　$▵\mathrm{ABC}$の面積は，${\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{{\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|}^2{\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|}^2-{(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}})}^2}$であるから，$p\text{，}$$q\text{，}$$r$を用いて表すと，$\boxed{\text{シ}}$となる．

【語群】	$\text{①}$　${\displaystyle \frac{1}{2}}(p+q+r)$	$\text{②}$　${\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{p^2+q^2+r^2}$
	$\text{③}$　${\displaystyle \frac{1}{2}}(pq+qr+rp)$	$\text{④}$　${\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{pq+qr+rp}$

【２】　ある家に$\mathrm{A}$さんと$\mathrm{B}$さんが住んでおり，ビー玉$10$個とおはじき$18$個を$2$人で分け合っている．

　$\mathrm{A}$さんが保有するビー玉とおはじきの数をそれぞれ$x_{\mathrm{A}}$（個），$y_{\mathrm{A}}$（個），また，$\mathrm{B}$さんが保有するビー玉とおはじきの数をそれぞれ$x_{\mathrm{B}}$（個），$y_{\mathrm{B}}$（個）と表す．

　$\mathrm{A}$さんがビー玉とおはじきを保有することで得られる満足度$u_{\mathrm{A}}$は

${\mathrm{>u}}_{\mathrm{A}}=2\sqrt{x_{\mathrm{A}}{y}_{\mathrm{A}}}$

と表せるとする．また，$\mathrm{B}$さんが得られる満足度$u_{\mathrm{B}}$は

$u_{\mathrm{B}}=x_{\mathrm{B}}+y_{\mathrm{B}}$

と表せるとする．

　例えば，$(x_{\mathrm{A}},y_{\mathrm{A}})=(3,12)$である場合を考える．このとき，$u_{\mathrm{A}}=12\text{，}(x_{\mathrm{B}},y_{\mathrm{B}})=(\boxed{\text{ア}},\boxed{\text{イ}})\text{，}{u}_{\mathrm{B}}=\boxed{\text{ウ}}$である．この状態から$2$人の間でビー玉とおはじきを交換する．$\mathrm{A}$さんが$\mathrm{B}$さんからビー玉を$3$個受け取り，同時に$\mathrm{B}$さんにおはじきを$\boxed{\text{エ}}$個渡すとき，$\mathrm{A}$さんの満足度$u_{\mathrm{A}}$の値は$12$となる．また，この交換によって$\mathrm{B}$さんの満足度$u_{\mathrm{B}}$の値は$\boxed{\text{オ}}$だけ高くなる．

　次に，より一般的な場合を考える．満足度$u_{\mathrm{A}}$がある一定の値$t\text{（}t\geqq 0\text{）}$になるように，$\mathrm{A}$さんがビー玉$x_{\mathrm{A}}$とおはじき$y_{\mathrm{A}}$を保有し，残りは$\mathrm{B}$さんが保有する．このとき，$x_{\mathrm{A}}\text{，}{y}_{\mathrm{A}}\text{，}t$の間に，$y_{\mathrm{A}}=\boxed{\text{カ}}$の関係が成立する．また，$\mathrm{B}$さんの満足度$u_{\mathrm{B}}$を$x_{\mathrm{A}}$と$t$を用いて，

$u_{\mathrm{B}}=-x_{\mathrm{A}}-\boxed{\text{キ}}{\displaystyle \frac{1}{x_{\mathrm{A}}}}+\boxed{\text{ク}}$

と表すことができる．したがって，$\mathrm{B}$さんの満足度$u_{\mathrm{B}}$の最大値を$t$を用いて表すと，$\boxed{\text{ケ}}$となる．

　この家全体での満足度$w$は

$w=u_{\mathrm{A}}{u}_{\mathrm{B}}$

と表せるとする．$w$が最大値をとるとき，$u_{\mathrm{A}}$の値は$\boxed{\text{コ}}$であり，$x_{\mathrm{A}}$と$y_{\mathrm{A}}$の値は，$(x_{\mathrm{A}},y_{\mathrm{A}})=(\boxed{\text{サ}},\boxed{\text{シ}})$である．

【３】　初項$1\text{，}$公比$2$の等比数列を，下のように第$1$群に$2$個，第$2$群に$4$個，第$3$群に$6$個，$\cdots$と，第$k$群に含まれる数の個数が$2k$個となるように群に分ける．

$1\text{，}2\left|4\text{，}8\text{，}16\text{，}32\right|64\text{，}\cdots$

　次の問いに答えよ．

(1)　第$4$群の$5$番目の数を求めよ．

(2)　第$1$群から第$3$群までに含まれる数の総和を求めよ．

(3)　第$k$群の最初の数を求めよ．

(4)　第$k$群に含まれる数の総和を求めよ．