2016　立命館大　理系学部個別配点方式2月7日実施MathJax

【１】　$x\text{，}y$を実数とする．

(1)　$x^2+5y^2+2xy-2x-6y+4\geqq \boxed{\text{ア}}$であり，等号が成り立つのは，$x=\boxed{\text{イ}}$かつ$y=\boxed{\text{ウ}}$のときである．

(2)　$x\text{，}y$が

$x^2+y^2+2xy-2x-4y+1=0\text{(＊)}$

を満たすとする．(＊)を$y$に関する$2$次方程式と考えたときの判別式は$\boxed{\text{エ}}$である．したがって，$x$のとりうる値の範囲は$x\leqq \boxed{\text{オ}}$である．また，(＊)を$x$に関する$2$次方程式と考えたときの判別式は$\boxed{\text{カ}}$である．したがって，$y$のとりうる値の範囲は$y\geqq \boxed{\text{キ}}$である．

(3)　$x\text{，}y$が(＊)を満たすとき，

$x^2+5y^2+2xy-2x-6y+4\geqq \boxed{\text{ク}}$

であり，等号が成り立つのは，$x=\boxed{\text{ケ}}$かつ$y=\boxed{\text{コ}}$のときである．

（注：$\boxed{\text{ア}}$と$\boxed{\text{ク}}$は数であり，$\boxed{\text{エ}}$と$\boxed{\text{カ}}$は$x$または$y$の式である．）

【２】　$a\text{，}b$を正の数とする．

(1)　相加平均が相乗平均以上であることより，

$a+b\geqq \boxed{\text{サ}}\sqrt{ab}$

であり，等号が成り立つのは$\boxed{\text{シ}}$のときである．

(2)　$x>0$に対する関数

$f(x)={\displaystyle \frac{1+x}{\sqrt{x}}}$

を考えると，$f(x)$の最小値は$\boxed{\text{ス}}$である．

(3)　$x>0$に対する関数

$g(x)={\displaystyle \frac{1+x}{x^t}}$

を考える．ここで$t$は，$0<t<1$を満たす数である．$g(x)$の導関数は，

$g^{\prime }(x)=\boxed{\text{セ}}$

であり，$g(x)$の第$2$次導関数は，

$g^{″}(x)=\boxed{\text{ソ}}$

である．$g(x)$は$x=\boxed{\text{タ}}$で最小値$\boxed{\text{チ}}$をとる．

　以上より，次のことがわかる．

$a+b\geqq \boxed{\text{ツ}}{a}^t{b}^{1-t}$

であり，等号が成り立つのは$\boxed{\text{テ}}$のときである．

（注：$\boxed{\text{タ}}\text{，}\boxed{\text{チ}}\text{，}\boxed{\text{ツ}}$は$t$の式，$\boxed{\text{テ}}$は$a\text{，}b\text{，}t$を使って表される．）

【３】　図１に示す正十二面体$\Delta$の体積は，以下の手順により$t=\sin {\displaystyle \frac{\pi }{5}}$で表ことができる．ただし，正五角形$\mathrm{ABCDE}$は単位円に内接しているとする．正十二面体$\Delta$は，その外接球の中心を頂点とし，各面を底面とする$12$個の正五角形に分割できる．この五角錐の高さは，面$\mathrm{ABCDE}$と面$\mathrm{PQRST}$の距離$h$の半分である．したがって，$\Delta \text{の体積}=\boxed{\text{ト}}\times S\times h$となる．ただし，$S$は，正五角形$\mathrm{ABCDE}$の面積とする．$S$は$t$を使って$S=\boxed{\text{ナ}}$と表せる．

　以下$h$を求めよう．正十二面体$\Delta$の隣接する$2$面のなす角を$\alpha \text{，}$辺$\mathrm{AF}$と面$\mathrm{ABCDE}$の成す角を$\beta$とする．図２より，$h=m\sin \alpha +l\sin \beta$となる．ただし，$m$は頂点$\mathrm{F}$と辺$\mathrm{PT}$の距離であり，$m$は$t$の式で$m=\boxed{\text{ニ}}$と表せ，$l$は辺$\mathrm{AF}$の長さで，$t$の式で$l=\boxed{\text{ヌ}}$と表せる．さらに図２より，$\beta$は$\alpha$を用いて$\boxed{\text{ネ}}$と表せる．

　$\sin \alpha$を求めるために，$\mathrm{C}$を頂点とし，正三角形$\mathrm{BDJ}$を底面とする三角錐に着目する．図３のように，辺$\mathrm{BD}$上に点$\mathrm{X}$を$\angle \mathrm{DCX}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$となるようにとり，辺$\mathrm{DJ}$上に点$\mathrm{Y}$を$\angle \mathrm{DCY}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$となるようにとる．すると$\alpha =\angle \mathrm{XCY}$だから，$\mathrm{XY}=2\mathrm{CX}\cdot \sin {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$となる．$\angle \mathrm{CDX}=\boxed{\text{ノ}}\pi$だから，$\mathrm{XD}=\boxed{\text{ハ}}\times \mathrm{CD}$と$\mathrm{CX}=\boxed{\text{ヒ}}\times \mathrm{CD}$となる．$▵\mathrm{BDJ}$が正三角形であることより，$\mathrm{XY}=\mathrm{XD}$なので，$\sin {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\boxed{\text{フ}}$となる．これより，$\sin \alpha =\boxed{\text{ヘ}}\text{，}$さらに，$\sin \beta =\boxed{\text{ホ}}$と表せるので，正十二面体$\Delta$の体積を$t$で表すことができる．

（注：$\boxed{\text{ハ}}\text{，}\boxed{\text{ヒ}}\text{，}\boxed{\text{フ}}\text{，}\boxed{\text{ヘ}}\text{，}\boxed{\text{ホ}}$は$t$の式である．）

【４】(1)　$p$を素数とすると，$1\leqq k\leqq p-1$なる$k$について二項係数${}_{p}C_k$を$p$で割った余りは$\boxed{\text{マ}}$である．したがって，$2$以上の自然数$n$に対して，二項定理より，

$\begin{array}{cc}{n}^p& ={((n-1)+1)}^p={\displaystyle \sum _{k=0}^p}{}_{p}C_k{(n-1)}^k{1}^{p-k}\\ & ={\displaystyle \sum _{k=1}^{p-1}}{}_{p}C_k{(n-1)}^k+1+\boxed{\text{ミ}}\end{array}$

となり，さらに，$\boxed{\text{ミ}}$を二項定理を使って同様に展開していくことにより，$n<p$の時は，$n^p$を$p$で割った余りが$n$のみを使った式で$\boxed{\text{ム}}$と表されることがわかる．

(2)　$3^{40}$を$41$で割った余りは$\boxed{\text{メ}}$である．したがって，$3^{40}-\boxed{\text{メ}}$を因数分解することによって，$3^{20}+\boxed{\text{モ}}$と$3^{20}-\boxed{\text{モ}}$のいずれかもしくは両方が$41$で割り切れることがわかる．そこで，$3^{10}$を$41$で割った余りを$m$としたとき，$m$の式$\boxed{\text{ヤ}}$について，$\boxed{\text{ヤ}}+\boxed{\text{モ}}$と$\boxed{\text{ヤ}}-\boxed{\text{モ}}$のいずれかもしくは両方が$41$で割り切れることがわかる．実際に計算してみると，$\boxed{\text{ヤ}}+\boxed{\text{モ}}$の方が$41$で割り切れることが確かめられる．

(3)　自然数$p\text{，}q\text{，}m\text{，}n$に対して，$p=qm+n\text{，}q<\sqrt{p}$かつ$n<\sqrt{p}$が成り立ち，さらに，$m^2+1$が$p$で割り切れるとする．このとき，$n^2={(p-qm)}^2$であるから，$n^2$は$p$を法として，$q$のみを使った式で表される数$\boxed{\text{ユ}}$と合同である．よって，$n^2-\boxed{\text{ユ}}$を$N$とおくと，$N$は$p$で割り切れる．$q<\sqrt{p}$かつ$n<\sqrt{p}$より，$0<N<\boxed{\text{ヨ}}p$であるから，$N$は$p$に等しくなる．