2016　立命館大　理系学部2月8日実施MathJax

【１】　$a$を実数とし，$3$次関数$f(x)=x^3+x^2-x+a$について考える．

(1)　$f(x)$は，$x=\boxed{\text{ア}}$のとき極大値$\boxed{\text{イ}}$をとり，$x=\boxed{\text{ウ}}$のとき極小値$\boxed{\text{エ}}$をとる．

(2)　$a=\boxed{\text{オ}}\text{，}\boxed{\text{カ}}$（ただし，$\boxed{\text{オ}}>\boxed{\text{カ}}$）のとき，$f(x)=0$は異なる$2$つの実数解をもつ．

(3)　曲線$y=f(x)$の変曲点は，$x=\boxed{\text{キ}}$のときである．

(4)　$a=-1$のとき，$x$軸と曲線$y=f(x)$で囲まれた部分の面積は$\boxed{\text{ク}}$である．

【２】　座標平面上で，ある点が右図のように${\mathrm{P}}_0(0,0)$から出発して${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_n\text{，}\cdots$と移動する．${\mathrm{P}}_1(1,0)$として，$n\geqq 1$のとき，${\mathrm{P}}_n$から${\mathrm{P}}_{n+1}$への移動を次のように定義する．

・${\mathrm{P}}_n$から${\mathrm{P}}_{n+1}$への移動距離${\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}$は，直前の${\mathrm{P}}_{n-1}$から${\mathrm{P}}_n$への移動距離${\mathrm{P}}_{n-1}{\mathrm{P}}_n$の$q$倍（ただし，$0<q<1$），つまり${\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}=q\cdot {\mathrm{P}}_{n-1}{\mathrm{P}}_n$とする．

・移動方向は，${\mathrm{P}}_{2n-1}$から${\mathrm{P}}_{2n}$への移動のときは，$x$軸の正の方向を基準に反時計回りに${\displaystyle \frac{2}{3}}\pi$回転した方向とし，${\mathrm{P}}_{2n}$から${\mathrm{P}}_{2n+1}$への移動のときは，$x$軸の正の方向とする．

　このような移動をするとき，${\mathrm{P}}_{2n}$の座標を$(x_{2n},y_{2n})$として，${\mathrm{P}}_{2(n+1)}$の座標$(x_{2(n+1)},y_{2(n+1)})$を， $x_{2n}\text{，}{y}_{2n}\text{，}q$を用いて表すと，

$x_{2(n+1)}=x_{2n}+\boxed{\text{ケ}}$

$y_{2(n+1)}=y_{2n}+\boxed{\text{コ}}$

となる．

　$q={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$n$を限りなく大きくすると，${\mathrm{P}}_{2n}$は点$(\boxed{\text{サ}},\boxed{\text{シ}})$に限りなく近づく．

　また，$n$を限りなく大きくしたとき，$x_{2n}$が最小になるのは，$q=\boxed{\text{ス}}$のときであり，そのとき，${\mathrm{P}}_{2n}$は点$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{4}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{4}})$に限りなく近づく．

【３】　座標空間において原点を$\mathrm{O}$とし，$3$点$\mathrm{A}(1,3,2)\text{，}\mathrm{B}(1,-1,-2)\text{，}\mathrm{C}(-1,3,1)$がある．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の内積は，$\boxed{\text{タ}}$であり，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$のなす角を$\theta$とすると，$\sin \theta =\boxed{\text{チ}}$である．$2$つの線分$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$を$2$辺としてもつ平行四辺形の面積は$\boxed{\text{ツ}}$である．

(2)　$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の両方に垂直な単位ベクトルのうち，$x$成分が正である単位ベクトルは$(\boxed{\text{テ}},\boxed{\text{ト}},\boxed{\text{ナ}})$である．

(3)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を含む平面に原点$\mathrm{O}$から下ろした垂線と平面との交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{H}$の座標は$(\boxed{\text{ニ}},\boxed{\text{ヌ}},\boxed{\text{ネ}})$である．このとき，$\mathrm{OH}$の長さは$\boxed{\text{ノ}}$である．

(4)　$3$つの線分$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}\text{，}\mathrm{AO}$を$3$辺としてもつ平行六面体の体積は$\boxed{\text{ハ}}$である．

【４】　次の条件を満たす複素数$z$について考える．ただし，$i$は虚数単位である．

(1)　${(z-i)}^6=1$を満たす$z$のうち，実部が正であるものは

$z=1+i\text{，}\boxed{\text{ヒ}}\text{，}\boxed{\text{フ}}$

の$3$個である．

(2)　${(z-i)}^6={\displaystyle \frac{64}{27}}$を満たす$z$のうち，実数であるものは

$z=\boxed{\text{ヘ}}\text{，}\boxed{\text{ホ}}$

の$2$個である．

(3)　${(z-i)}^6$が実数であるような$z$について考える．

(a)　$|z-i|=1$を満たす$z$は$\boxed{\text{マ}}$個ある．

(b)　$z=\bar{z}$を満たす$z$は$\boxed{\text{ミ}}$個ある．

(c)　$z=\bar{z}$を満たすとき，$\left|{(z-i)}^6\right|$がとりうる最大値は$\boxed{\text{ム}}$である．

(4)　$n$を$2$以上の整数とする．${(z-i)}^n$が実数のとき，実数である$z$は$\boxed{\text{メ}}$個ある．