2016　立命館大　理系学部3月5日実施MathJax

【１】　$4$次関数$f(x)=x^4-x^2$について考える．

(1)　$f(x)$は，$x=\boxed{\text{ア}}\text{，}\boxed{\text{イ}}$（ただし，$\boxed{\text{ア}}<\boxed{\text{イ}}$）のとき，極小値$\boxed{\text{ウ}}$をとり，$x=\boxed{\text{エ}}$のとき，極大値$\boxed{\text{オ}}$をとる．

(2)　曲線$C_1\text{：}y=f(x)$と$x$軸との交点のうち，原点を除いたものを$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．$\mathrm{A}$の$x$座標は$\boxed{\text{カ}}$であり，$\mathrm{B}$の$x$座標は$\boxed{\text{キ}}$である．ただし，$\boxed{\text{カ}}<\boxed{\text{キ}}$とする．曲線$C_1$と$x$軸で囲まれた部分の面積は$\boxed{\text{ク}}$である．

(3)　$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$で曲線$C_1$に接する放物線を$C_2\text{：}y=g(x)$とすると，

$g(x)=\boxed{\text{ケ}}{x}^2-\boxed{\text{コ}}$

である（ただし，$\boxed{\text{ケ}}\text{，}\boxed{\text{コ}}$は数である）．ここで，$2$つの曲線が接するとは，$2$つの曲線が共有点をもち，その点におけるそれぞれの曲線の接線の傾きが等しいことである．

(4)　曲線$C_1$と曲線$C_2$で囲まれた部分の面積は$\boxed{\text{サ}}$である．

【２】　数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$に対して，数列$\{c_n\}$を

$c_n=a_n{b}_{n+1}-a_{n+1}{b}_n$

と定める．

(1)　$a_n=n\text{，}{b}_n=n^2$のとき，$c_n=n(\boxed{\text{シ}})$であり，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{c}_k={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{3}}$である．

(2)　$a_n={\displaystyle \frac{1}{n^2}}\text{，}{b}_n={\displaystyle \frac{1}{n}}$のとき，$c_n={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{セ}}}}$であり，${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}\sqrt{c_k}=\boxed{\text{ソ}}$である．

(3)　$\theta$を定数とする．$a_n=\sin n\theta \text{，}{b}_n＝\cos n\theta$のとき，$c_n=(\boxed{\text{タ}})\sin \theta$であり，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{c}_k=(\boxed{\text{チ}})\sin \theta$である．

(4)　$p\text{，}q$を定数とする（ただし$q\ne 1$）．数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$がそれぞれ漸化式

$a_{n+2}+p{a}_{n+1}+q{a}_n=0\text{，}{b}_{n+2}+p{b}_{n+1}+q{b}_n=0$

を満たすとき，数列$\{c_n\}$の一般項を$a_1\text{，}{b}_1\text{，}{a}_n\text{，}{b}_2\text{，}q$を用いて表すと，$c_n=\boxed{\text{ツ}}$であり，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{c}_k=\boxed{\text{テ}}$である．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする$xy$座標平面において，任意の点で発生した波は毎秒$1$の速さで同心円状に広がることとする．また，$2$点$\mathrm{A}(3,5)\text{，}\mathrm{B}(1,1)$が定められている．

(1)　原点$\mathrm{O}$で発生した波が$5$秒後に到達する点からなる曲線の方程式は$\boxed{\text{ト}}$である．また，点$\mathrm{A}$で発生した波が直線$y=-2x+1$に到達するまでの時間は，$\boxed{\text{ナ}}$秒である．

(2)　点$\mathrm{B}$で発生した波が，$\sqrt{10}$秒後に点$\mathrm{A}$を通る$2$本の直線に同時に到達した．このとき，$2$本の直線の方程式は，

$y=\boxed{\text{ニ}}$

$y=\boxed{\text{ヌ}}$

となる．

(3)　$3$つの異なる点で同時刻に発生した波のそれぞれの到達時間により，ある点の座標をただ$1$つに特定することを考える．ここでは，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}$と他の$1$点$\mathrm{C}$から点$\mathrm{P}$の座標を特定することにする．

　原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}$で同時刻$t_0$に発生した波が，点$\mathrm{P}$に到達するまでに，それぞれ$4$秒と$\sqrt{10}$秒かかったとする．このとき，点$\mathrm{P}$の候補となる座標は，

$(\boxed{\text{ネ}},\boxed{\text{ノ}})\text{，}(\boxed{\text{ハ}},\boxed{\text{ヒ}})$

の$2$つである．ただし，$\boxed{\text{ネ}}<\boxed{\text{ハ}}$とする．

　また，さらにもう$1$つの点$\mathrm{C}$で同時刻$t_0$に波が発生したとする．点$\mathrm{C}$の座標を$(x,y)$とするとき，$x$と$y$が$y=\boxed{\text{フ}}$でなければ，点$\mathrm{P}$への$3$つの波の到達時刻から点$\mathrm{P}$の座標をただ$1$つに特定することができる．

【４】　座標平面において原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$3$の円$C_1$に半径$1$の円$C_2$が内接しながらすべることなく回転する．円$C_2$上の定点$\mathrm{P}$の最初の位置を円$C_1$上の点$\mathrm{A}(3,0)$とするとき，定点$\mathrm{P}$のえがく曲線$C$について考える．

(1)　原点$\mathrm{O}$と円$C_2$の中心$\mathrm{R}$を結ぶ半直線$\mathrm{OR}$の$x$軸の正の向きとのなす角を$\theta$（ただし，$\theta \geqq 0$）とするとき，定点$\mathrm{P}$のえがく曲線$C$の媒介変数表示を，$\theta$を用いて次のように求める．

　円$C_1$と円$C_2$の接点を$\mathrm{Q}$とすると，弧$\mathrm{AQ}$（円$C_2$が回転で接した部分）の長さは$\boxed{\text{ヘ}}$であり，$\angle \mathrm{PRQ}$の大きさは$\boxed{\text{ホ}}$である．

　半直線$\mathrm{RP}$が$x$軸の正の向きとのなす角（半直線$\mathrm{RP}$を，端点$\mathrm{R}$が原点となるように平行移動した半直線${\mathrm{OP}}^{\prime }$と$x$軸の正の向きとのなす角$\angle {\mathrm{P}}^{\prime }\mathrm{OA}$）の大きさは$\boxed{\text{マ}}$である．

　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OR}}+\overrightarrow{\mathrm{RP}}$より，点$\mathrm{P}$の座標を$(x,y)$とすると，$\theta$を用いて

$x=\boxed{\text{ミ}}\text{，}y=\boxed{\text{ム}}$

と表され，曲線$C$の媒介変数表示が求まる．

(2)　曲線$C$と円$C_1$との共通点は，点$\mathrm{A}$と点$(\boxed{\text{メ}},\boxed{\text{モ}})\text{，}$点$(\boxed{\text{ヤ}},\boxed{\text{ユ}})$の$3$点である．

(3)　$0\leqq \theta \leqq 2\pi$のとき，曲線$C$の長さは$\boxed{\text{ヨ}}$である．