2016 関西大 理系学部2月2日実施

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2016 関西大学 システム理工・環境都市工・化学生命工学部2月2日実施

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【1】  p q を実数とし, i は虚数単位とする.複素数平面上の点 P (4+ pi ) は点 A (2 i) と点 B (2+ 3i ) を通る直線上にある.また,点 Q (q+ qi ) は線分 QA と線分 QP が直交する位置にある.次の問いに答えよ.

(1)  p および q の値を求めよ.

(2)  |z- (q+ qi) |=2 |z- (4+ pi) | を満たす複素数 z 全体の表す図形を求め,図示せよ.

(3)  z が(2)で定められた図形上にあり, z 10 +10i -z 3 +3i 3 点が三角形を作るとき,その三角形の面積が最大となる z の値を求めよ.

2016 関西大学 システム理工・環境都市工・化学生命工学部2月2日実施

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【2】  次の   をうめよ.

 空間内で、原点 O 3 A B C を頂点とする四面体 OABC を考える.三角形 ABC の内心,すなわち 3 つの内角の 2 等分線の交点を I とし,直線 BI と辺 AC の交点を D とする.三角形 ABC の各辺の長さをそれぞれ AB =p BC =q CA= r とおく.このとき, ABD= CBD であるから,ベクトル AD は, p q を用いて

AD = AC

と表される. AD の長さ | AD | p q r を用いて

|AD | =

と表される.したがって,ベクトル AI は, p q r を用いて

AI = AB+ AC

と表される.また,ベクトル OI p q r を用いて

OI = OA+ OB+ OC

と表される.特に, A B C の座標が A ( a,0, 0) B ( 0,b, 0) C ( 0,0, c) で与えられたとき, I x 座標は a b c を用いて と表される.

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【3】  n 2 以上の整数とする.関数 f (x )= x2n -1 e-x 2n について次の問いに答えよ.

(1)  f( x) の導関数 f ( x) を求めよ.

(2)  -2 x2 の範囲で f (x ) の増減表をかき, f( x) の最大値と最小値を n を用いて表せ.

(3)  n=2 3 に対して an= n- 12 n とする.このとき,極限値

limn n2 0an f (x) dx

を求めよ.

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【4】 次の   をうめよ.

(1)  2 次方程式 x2+5 x+6 =0 の解が tan α tan β( |α |< π2 |β |< π2 ) であるとき, α+β= である.

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【4】 次の   をうめよ.

(2) 曲線 y =x+2 と直線 y =x+a が共有点をもつとき,定数 a のとりうる値の範囲は であり,共有点の数が 2 個でかつ,その共有点の y 座標がともに正であるとき, a のとりうる値の範囲は である.

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【4】 次の   をうめよ.

(3)  6 で割ると 3 余り, 17 で割ると 5 余る 3 桁の自然数で最大のものは である.

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【4】 次の   をうめよ.

(4) 次の定積分の値を求めると

1e2 1 x log xdx= 0e2 1 x ( logx) 2d x=

である.

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【4】 次の   をうめよ.

(5)  n 個の正の数 a1 a 2 an が等差数列であるとする. a1 =a a n=b a b とするとき,和 k =1n -1 1 ak +ak +1 a+ b である.