2016　関西大　理系学部2月2日実施MathJax

(1)　$p$および$q$の値を求めよ．

(2)　$|z-(q+qi)|=2|z-(4+pi)|$を満たす複素数$z$全体の表す図形を求め，図示せよ．

(3)　$z$が(2)で定められた図形上にあり，$z\text{，}10+10i-z$と$3+3i$の$3$点が三角形を作るとき，その三角形の面積が最大となる$z$の値を求めよ．

　空間内で、原点$\mathrm{O}$と$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$を考える．三角形$\mathrm{ABC}$の内心，すなわち$3$つの内角の$2$等分線の交点を$\mathrm{I}$とし，直線$\mathrm{BI}$と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．三角形$\mathrm{ABC}$の各辺の長さをそれぞれ$\mathrm{AB}=p\text{，}$$\mathrm{BC}=q\text{，}$$\mathrm{CA}=r$とおく．このとき，$\angle \mathrm{ABD}=\angle \mathrm{CBD}$であるから，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$は，$p$と$q$を用いて

$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\boxed{\text{①}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

と表される．$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$の長さ$\left|\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right|$は$p\text{，}$$q\text{，}$$r$を用いて

$\left|\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right|=\boxed{\text{②}}$

と表される．したがって，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AI}}$は，$p\text{，}$$q\text{，}$$r$を用いて

$\overrightarrow{\mathrm{AI}}=\boxed{\text{③}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\boxed{\text{④}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

と表される．また，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$は$p\text{，}$$q\text{，}$$r$を用いて

$\overrightarrow{\mathrm{OI}}=\boxed{\text{⑤}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\boxed{\text{⑥}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\boxed{\text{⑦}}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$

と表される．特に，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の座標が$\mathrm{A}(a,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}(0,b,0)\text{，}$$\mathrm{C}(0,0,c)$で与えられたとき，$\mathrm{I}$の$x$座標は$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を用いて$\boxed{\text{⑧}}$と表される．

(1)　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$-2\leqq x\leqq 2$の範囲で$f(x)$の増減表をかき，$f(x)$の最大値と最小値を$n$を用いて表せ．

(3)　$n=2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して$a_n=n^{-\frac{1}{2n}}$とする．このとき，極限値

$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2{\displaystyle {\int }_0^{a_n}}f(x)dx$

を求めよ．