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2016-14991-0501
2016 関西大学
総合情報(2教科選択型)学部
2月1日実施
易□ 並□ 難□
【1】 数列 { an } の初項 a 1 から第 n 項 a n までの和 S n が
Sn= 34 ⁢ n⁢( n+3 ) ( n=1 ,2 ,3 ,⋯ )
と表されているとする.
次の問いに答えよ.
(1) a1 , a2 を求めよ.
(2) an を求めよ.
(3) ∑ k=1 nk⁢ ak が 3 の倍数となることを証明せよ.
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【2】 3 次関数 f ⁡(x )= 13⁢ x3 +p⁢ x2+q ⁢x+r を考える.
f′⁡ (x ) を f ⁡(x ) の導関数とするとき, f⁡( x) を f ′⁡( x) で割った余りを h ⁡(x ) とする.関数 f ⁡(x ) は, x=α で極大値, x=β で極小値をとるとする.ただし, α≠β である. 2 点 P ( α,f⁡ (α )) と Q ( β,f( β) ) を通る直線と x 軸の交点を R とする.
(1) R の x 座標が
β ⁢h⁡( α)- α⁢h( β) h⁡( α)- h⁡( β)
で与えられることを示せ.
(2) f⁡( x)= 13 ⁢ x3+ x2-2 ⁢x-1 のとき, h⁡( x) と P の座標を求めよ.
(3) 原点を O とする.(2)の f ⁡(x ) に対して, ▵OPQ の面積を求めよ.
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【3】 次の をうめよ.
(1) 直線 y =m⁢x と曲線 y =(x +1) ⁢x( x-2 ) が 3 点で交わり,それらが等間隔に並んでいる.このとき, m= ① である.
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(2) 点 ( a,b ) より放物線 y =x2 に引いた 2 つの接線が互いに直交している.このとき, b= ② である.
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(3) f⁡( θ)= 2⁢sin⁡ x+2⁢ cosθ+2 ⁢sinθ⁢ cos⁡θ ( 0≦ θ<2⁢ π ) を考える. t=sin⁡ θ+cos⁡ θ とおき, f⁡( θ) を t の式で表すと ③ となる.
f⁡( θ) の最大値は、 θ= ④ のときで,その値は ⑤ である.最小値は, θ = ⑥ および ⑦ のときで,その値は ⑧ である.
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【4】 次の をうめよ.
(1) 不等式
logx⁡ (3⁢ x2- 10⁢x+ 3)≦ 1
を満たす x の範囲は ① である.
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(2) 平面上に 3 点 A , B , C と原点 O がある.
2⁢ OA→ +OB→ +OC →= 0→ , | OA→ |= | OB→ |= | OC→ |= 1
が成り立っているとき, ∠BOC= ② であり,
AB→ = ③ ⁢ OB →+ ④ ⁢ OC →
となる.
これより, |BC → |= ⑤ となり, ▵ABC の面積は ⑥ である.