2016　関西大　文系学部2月3日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$を実数または$n$に関する式でうめよ．

　正の数$p$に対して，$p$の整数部分，小数部分をそれぞれ$[p]\text{，}⟨p⟩$で表す．例えば，

$[3.14]=3\text{，}⟨3.14⟩=0.14\text{，}$$[2]=2\text{，}$$⟨2⟩=0\text{，}$$[0.5]=0\text{，}$$⟨0.5⟩=0.5$

である．

　自然数$n$に対して，$x$の$2$次方程式$x^2-nx-1=0$の解で正のものを$\alpha$とする．このとき，$\alpha =\boxed{\text{①}}$である．ここで，

$n^2<n^2+4<n^2+4n+4$

に注意すると，

$[\alpha ]=\boxed{\text{②}}\text{，}$$⟨\alpha ⟩=\boxed{\text{③}}$

である．さらに，

$\left[{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}\right]=\boxed{\text{④}}\text{，}$$⟨{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}⟩=\boxed{\text{⑤}}\text{，}$$\left[{\displaystyle \frac{1}{⟨\alpha ⟩}}\right]=\boxed{\text{⑥}}\text{，}$$⟨{\displaystyle \frac{1}{⟨\alpha ⟩}}⟩=\boxed{\text{⑦}}$

である．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．

　$t=2^x+2^{-x}$とおくと，$2^{2x}+2^{-2x}$および$2^{3x}+2^{-3x}$は$t$を用いてそれぞれ$\boxed{\text{①}}\text{，}$$\boxed{\text{②}}$と表される．よって，関数

$f(x)=2^{3x}+2^{-3x}-{\displaystyle \frac{11}{4}}(2^{2x}+2^{-2x})$$-2(2^x+2^{-x})+1$

は$t$を用いて$f(x)=\boxed{\text{③}}$と表される．ここで，$t$のとりうる値の範囲は$\boxed{\text{④}}$であるから，$f(x)$は$t=\boxed{\text{⑤}}$のとき，最小値$\boxed{\text{⑥}}$をとる．このとき，$x=\boxed{\text{⑦}}$である．

【３】　$a>1$とする．$2$つの直線

$l_1\text{：}y=x\text{，}{l}_2\text{：}y=ax$

について，次の問いに答えよ．

(1)　 $l_1$上の点${\mathrm{P}}_1(1,1)$から$l_2$に下ろした垂線と$l_2$の交点を${\mathrm{P}}_2$とするとき，${\mathrm{P}}_2$の座標を求めよ．

(2)　(1)で求めた${\mathrm{P}}_2$から$l_1$に下ろした垂線と$l_1$の交点を${\mathrm{P}}_3$とするとき，${\mathrm{P}}_3$の座標を求めよ．

(3)　(2)で求めた${\mathrm{P}}_3$の$x$座標は${\mathrm{P}}_1$の$x$座標よりも小さいことを示せ．