2016 関西大 理系学部2月5日実施

Mathematics

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2016 関西大学 システム理工・環境都市工・化学生命工学部

2月5日実施

易□ 並□ 難□

【1】 関数 f ( x) はすべての実数 x で微分可能であり,等式

ex f (x )= e2 x+ 0x et f( t) dt

を満たしている.ただし, e は自然対数の底である.次の問いに答えよ.

(1)  f( 0) の値を求めよ.

(2)  f (x ) を求めよ.また, f( x) を求めよ.

(3)  y=f (x ) のグラフの概形を解答欄の座標平面上にかけ.ただし,曲線の凹凸は調べなくてよい.

(4)  y=f ( x) のグラフと x 軸, y 軸で囲まれた図形を, y 軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ.ただし, logx dx= xlog x-x+ c C は積分定数)を用いてよい.

2016 関西大学 システム理工・環境都市工・化学生命工学部

2月5日実施

易□ 並□ 難□

【2】 数列 { an } の第 1 項から第 n 項までの和 S n と一般項 a n

Sn= 16- 3( n+4) n a n n=1 2 3

を満たしている.次の   をうめよ.

(1)  a2= である.

(2)  an+ 1 a n n を用いて表すと, an+ 1= an である. a nn =bn とおくと, bn +1= bn である.したがって, an n を用いて, an = である.

(3) 数列 { an } の項のうち,最大値は である.

(4)  n= 1 an = である.ただし, |r |< 1 のとき, limn n rn= 0 を用いてよい.

2016 関西大学 システム理工・環境都市工・化学生命工学部

2月5日実施

易□ 並□ 難□

【3】  O を原点とする座標平面上に,曲線 C 上の点 P ( x,y ) が媒介変数 θ を用いて

x=( 1+cos θ) cosθ

y=( 1+cos θ) sinθ

によって与えられている.ただし, 0θ π とする.次の   をうめよ.

(1)  x θ = のとき最小値 をとり, y θ = のとき最大値 をとる.

(2)  2 A ( 1,0 ) P の距離が最大となるとき,点 P の座標は である.また,このときの点 P における曲線 C の接線の方程式は y = である.

(3) (2)で求めた接線と x 軸,曲線 C で囲まれた図形の面積は である.

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易□ 並□ 難□

【4】 次の   をうめよ.

(1)  1 から 10 までの数が書かれたカードが 1 枚ずつ計 10 枚ある.この中から同時に 4 枚を取り出すとき,それらに書かれている数について,最大の数が 6 である確率は であり,また,最大の数が 9 以上で,かつ最小の数が 2 以下である確率は である.

2016 関西大学 システム理工・環境都市工・化学生命工学部

2月5日実施

易□ 並□ 難□

【4】 次の   をうめよ.

(2) 四角 すい OABCD は,底面 ABCD 1 辺の長さ 1 の正方形であり, OA=OB =OC=OD =1 である.内積 OA OB の値は である.また,辺 OA の中点を M とし, OB MC のなす角を θ (0 θ π2 ) とすると, cosθ の値は である.

2016 関西大学 システム理工・環境都市工・化学生命工学部

2月5日実施

易□ 並□ 難□

【4】 次の   をうめよ.

(3) 実数 x y x 10 y 1 x y2= 108 を満たしているとする. Y=log 10y とおくとき, Y のとり得る値の範囲は である.また, log10 x log10 y が最大となるとき, xy の値は である.

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易□ 並□ 難□

【4】 次の   をうめよ.

(4)  O を原点とする複素数平面上で, 2 つの複素数 z 1=1 +2i z2 =-1+ 3i の表す点をそれぞれ P Q とする.このとき,偏角 arg z 2z1 = である.ただし,偏角の範囲は 0 以上 2 π 未満とする.また,直線 OQ に関して,点 P と対称な点 Q を表す複素数は である.