2016　関西大　理系学部2月5日実施MathJax

【１】　関数$f(x)$はすべての実数$x$で微分可能であり，等式

$e^{x}f(x)=e^{2x}+{\displaystyle {\int }_0^x}{e}^{t}f(t)dt$

を満たしている．ただし，$e$は自然対数の底である．次の問いに答えよ．

(1)　$f(0)$の値を求めよ．

(2)　$f^{\prime }(x)$を求めよ．また，$f(x)$を求めよ．

(3)　$y=f(x)$のグラフの概形を解答欄の座標平面上にかけ．ただし，曲線の凹凸は調べなくてよい．

(4)　$y=f(x)$のグラフと$x$軸，$y$軸で囲まれた図形を，$y$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．ただし，${\displaystyle \int }\log xdx=x\log x-x+c$（$C$は積分定数）を用いてよい．

【２】　数列$\{a_n\}$の第$1$項から第$n$項までの和$S_n$と一般項$a_n$が

$S_n=16-{\displaystyle \frac{3(n+4)}{n}}{a}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たしている．次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$a_2=\boxed{\text{①}}$である．

(2)　$a_{n+1}$を$a_n$と$n$を用いて表すと，$a_{n+1}=\boxed{\text{②}}{a}_n$である．${\displaystyle \frac{a_n}{n}}=b_n$とおくと，$b_{n+1}=\boxed{\text{③}}{b}_n$である．したがって，$a_n$は$n$を用いて，$a_n=\boxed{\text{④}}$である．

(3)　数列$\{a_n\}$の項のうち，最大値は$\boxed{\text{⑤}}$である．

(4)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_n=\boxed{\text{⑥}}$である．ただし，$\left|r\right|<1$のとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }n\cdot r^n=0$を用いてよい．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に，曲線$C$上の点$\mathrm{P}(x,y)$が媒介変数$\theta$を用いて

$x=(1+\cos \theta )\cos \theta$

$y=(1+\cos \theta )\sin \theta$

によって与えられている．ただし，$0\leqq \theta \leqq \pi$とする．次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$x$は$\theta =\boxed{\text{①}}$のとき最小値$\boxed{\text{②}}$をとり，$y$は$\theta =\boxed{\text{③}}$のとき最大値$\boxed{\text{④}}$をとる．

(2)　$2$点$\mathrm{A}(1,0)$と$\mathrm{P}$の距離が最大となるとき，点$\mathrm{P}$の座標は$\boxed{\text{⑤}}$である．また，このときの点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線の方程式は$y=\boxed{\text{⑥}}$である．

(3)　(2)で求めた接線と$x$軸，曲線$C$で囲まれた図形の面積は$\boxed{\text{⑦}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$1$から$10$までの数が書かれたカードが$1$枚ずつ計$10$枚ある．この中から同時に$4$枚を取り出すとき，それらに書かれている数について，最大の数が$6$である確率は$\boxed{\text{①}}$であり，また，最大の数が$9$以上で，かつ最小の数が$2$以下である確率は$\boxed{\text{②}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(2)　四角$\stackrel{\text{すい}}{\text{錐}}$$\mathrm{OABCD}$は，底面$\mathrm{ABCD}$が$1$辺の長さ$1$の正方形であり，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{OD}=1$である．内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値は$\boxed{\text{③}}$である．また，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{MC}}$のなす角を$\theta (0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とすると，$\cos \theta$の値は$\boxed{\text{④}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(3)　実数$x\text{，}y$は$x\geqq 10\text{，}y\geqq 1\text{，}x{y}^2={10}^8$を満たしているとする．$Y={\log }_{10}y$とおくとき，$Y$のとり得る値の範囲は$\boxed{\text{⑤}}$である．また，${\log }_{10}x\cdot {\log }_{10}y$が最大となるとき，${\displaystyle \frac{x}{y}}$の値は$\boxed{\text{⑥}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(4)　$\mathrm{O}$を原点とする複素数平面上で，$2$つの複素数$z_1=1+2i\text{，}{z}_2=-1+3i$の表す点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とする．このとき，偏角$\arg {\displaystyle \frac{z_2}{z_1}}=\boxed{\text{⑦}}$である．ただし，偏角の範囲は$0$以上$2\pi$未満とする．また，直線$\mathrm{OQ}$に関して，点$\mathrm{P}$と対称な点$\mathrm{Q}$を表す複素数は$\boxed{\text{⑧}}$である．