2016　関西大　全学部・センター理系2月7日実施MathJax

(1)　$l$の方程式を求めよ．また，点$\mathrm{R}$および$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$が$t>1$の範囲で動くとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値，およびそのときの$t$の値を求めよ．

(3)　前問(2)において線分$\mathrm{PQ}$の長さが最小になるとき，$x$軸と線分$\mathrm{RQ}$と楕円$C$で囲まれた領域の面積を求めよ．

　$\mathrm{BD}=\mathrm{DC}={\displaystyle \frac{1}{2}}$であるから，$\mathrm{OD}=\boxed{\text{①}}$である．三角形$\mathrm{OAD}$において$\mathrm{OD}=\mathrm{DA}$であるから，辺$\mathrm{OA}$と線分$\mathrm{OD}$のなす角を$\theta$とすれば$\cos \theta =\boxed{\text{②}}$となる．$k=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$n$に対して，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{M}}_k}$を$t\text{，}$$n\text{，}$$k$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を用いて表すと

$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{M}}_k}=\boxed{\text{③}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+{\displaystyle \frac{k}{n+1}}\overrightarrow{\mathrm{OD}}$

である．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\boxed{\text{④}}$であるから，${\left|\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{M}}_k}\right|}^2$は，$t\text{，}$$n\text{，}$$k$を用いて

${\left|\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{M}}_k}\right|}^2=t^2+{\displaystyle \frac{k}{n+1}}(\boxed{\text{⑤}})+{\displaystyle \frac{k^2}{{(n+1)}^2}}(\boxed{\text{⑥}})$

と表される．ここで，$\boxed{\text{⑤}}$と$\boxed{\text{⑥}}$は$t$の式である．したがって

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\left|\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{M}}_k}\right|}^2=\boxed{\text{⑦}}$

である．$0<t\leqq 1$の範囲で$t$が動くとき，$\boxed{\text{⑦}}$のとりうる値の範囲は$\boxed{\text{⑧}}<\boxed{\text{⑦}}\leqq \boxed{\text{⑨}}$である．

$f(x)=\sqrt{b{x}^2+1}-ax$

とおくとき，次の問いに答えよ．ただし，(2)〜(4)の解答は記述欄に記入すること．

(1)　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$は$f^{\prime }(x)=\boxed{\text{①}}-a$であり，第$2$次導関数$f^{″}(x)$は$f^{″}(x)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{②}}}{(b{x}^2+1)\sqrt{b{x}^2+1}}}$である．$\boxed{}$をうめよ．

(2)　$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=-\infty$を示せ．

(3)　$-\infty <x<\infty$に対して$f^{\prime }(x)<0$となることを示せ．

(4)　上で与えられた実数$a\text{，}b$が$a^2-1=b$の関係を満たすとき，曲線$y=f(x)$と$x$軸と$y$軸で囲まれた図形を$x$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積$V$を$a$を用いて表せ．