2016　関西大　全学部日程文系学部2月8日実施

　定数$a\text{，}b$がすべての実数$\theta$に対して，

$\sin 3\theta =a{\sin }^3\theta +b\sin \theta$

を満たすとする．このとき，$a=\boxed{\text{①}}\text{，}b=\boxed{\text{②}}$である．

(2)　$a\text{，}b$を(1)で求めた値とする．$3$次関数$f(x)=a{x}^3+bx$は，$x=\boxed{\text{③}}$のとき極大値$\boxed{\text{④}}$をとる．

(3)　$a\text{，}b$を(1)で求めた値とする．このとき，$3$次方程式

$a{x}^3+bx-{\displaystyle \frac{1}{2}}=0$

は$3$つの実数解をもち，それらは$\sin {\theta }_1\text{，}\sin {\theta }_2\text{，}\sin {\theta }_3$と表される．ただし，

$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq {\theta }_1<{\theta }_2<{\theta }_3\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

とする．このとき，

${\theta }_1=\boxed{\text{⑤}}\text{，}{\theta }_2=\boxed{\text{⑥}}\text{，}{\theta }_3=\boxed{\text{⑦}}$

である．

　$a$を$1$より大きい定数とし，$f(x)=a^x+a^{-x}$とおく．$x\text{，}y$を$x\leqq y$を満たす$0$以上の数とすると，不等式$f(x)\leqq f(y)$が成り立つ．このことを用いると，$0\leqq x\leqq {\log }_{a}4$のとき，$f(x)$の最小値，最大値はそれぞれ$\boxed{\text{①}}\text{，}\boxed{\text{②}}$である．

　$g(x)=a^{2x}-6a^x+10-6a^{-x}+a^{-2x}$とおく．このとき，$g(x)$は$f(x)$を用いて

$g(x)={(\boxed{\text{③}})}^2-1$

と表される．さらに，$g(x)$は$x=\boxed{\text{④}}$のとき最小値$\boxed{\text{⑤}}$をとり，$x=\boxed{\text{⑥}}$のとき最大値$\boxed{\text{⑦}}$をとる．

$\{\begin{array}{l}{a}_1=3\text{，}{a}_2=7\\ a_{n+2}-(3c-2)a_{n+1}+(3c-3)a_n=0\text{（}n=1,2,3,\cdots \text{）}\cdots \text{①}\end{array}$

によって定められる数列$\{a_n\}$を考える．次の問いに答えよ．

(1)　$\text{①}$は

$a_{n+2}-p{a}_{n+1}=q(a_{n+1}-p{a}_n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

と変形できる．ただし，$p$は定数，$q$は$c$の式である．$p\text{，}q$を求めよ．

(2)　一般項$a_n$を$c$と$n$を用いて表せ．