2016　関西大　後期　文系学部3月3日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．

　直径$6$の円$O_1$の直径を底辺とする二等辺三角形で$O_1$に内接するものを$T_1$とする．$T_1$の高さおよび面積をそれぞれ$h_1\text{，}{S}_1$とすると，$h_1=\boxed{\text{①}}\text{，}{S}_1=\boxed{\text{②}}$である．

　$T_1$に内接する円を$O_2$とし，$O_2$の直径を底辺とする二等辺三角形で$O_2$に内接するものを$T_2$とする．$T_2$の高さおよび面積をそれぞれ$h_2\text{，}{S}_2$とすると，$h_2=\boxed{\text{③}}\text{，}{S}_2=\boxed{\text{④}}$である．

　上の操作を繰り返して二等辺三角形を$T_3\text{，}{T}_4\text{，}\cdots \text{，}{T}_n$と求めたとき，$T_n$の高さおよび面積をそれぞれ$h_n\text{，}{S}_n$とする．$n=2\text{，}3\text{，}\cdots$のとき，$h_n$を$h_{n-1}$を用いて表すと，$h_n=\boxed{\text{⑤}}$である．また，$n=1\text{，}2\text{，}\cdots$のとき，和

$S_1+S_2+\cdots +S_n$

は$n$を用いて${\displaystyle \frac{9}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{\boxed{\text{⑥}}}{\sqrt{2}-1}}$と表される．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．

　整式$x^3+27x^2+4x-2$を$x^2+28x+31$で割ったときの商は$\boxed{\text{①}}\text{，}$余りは$\boxed{\text{②}}$である．さらに，$x^2+28x+31$を$\boxed{\text{②}}$で割ったときの余りは$\boxed{\text{③}}$である．

　不等式$x^2+28x+31>\boxed{\text{②}}>\boxed{\text{③}}$を満たす最小の自然数$x$は$\boxed{\text{④}}$である．$n$を$\boxed{\text{④}}$以上の自然数とすると，ユークリッドの互除法より，$n^3+27n^2+4n-2$と$n^2+28n+31$の最大公約数は$\boxed{\text{③}}$の約数である．よって，その最大公約数になりうる自然数は全部で$\boxed{\text{⑤}}$個ある．最大公約数が$5$になるような$n$のうち，最小のものは$\boxed{\text{⑥}}$である．

【３】　$1$個のさいころを投げて，右図のような一辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$の辺に沿って，$\stackrel{\text{こま}}{\text{駒}}$を進める試行を考える．次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　さいころを$1$回投げる．最初に$\mathrm{A}$の場所にあった駒を，出た目の数だけ左まわりに進めたとき，その駒が$\mathrm{B}$の場所にある確率は$\boxed{\text{①}}$である．

(2)　さいころを続けて$2$回投げる．最初に$\mathrm{A}$の場所にあった駒を，出た目の数の和だけ左まわりに進めたとき，その駒が$\mathrm{D}$の場所にある確率は$\boxed{\text{②}}$である．

(3)　さいころを続けて$2$回投げる．最初に$\mathrm{A}$の場所にあった駒を，$1$回目に出た目の数だけ左まわりに進め，その後$2$回目に出た目の数だけ右まわりに進めたとき，その駒が$\mathrm{D}$の場所にある確率は$\boxed{\text{③}}$である．

(4)　さいころを続けて$2$回投げる．最初に$\mathrm{A}$の場所にあった駒を，出た目の数の最大値だけ左まわりに進めたとき，その駒が$\mathrm{B}$の場所にある確率は$\boxed{\text{④}}$である．

(5)　さいころを続けて$2$回投げる．最初に$\mathrm{A}$の場所にあった駒を，出た目の数の積だけ左まわりに進めたとき，その駒が$\mathrm{A}$の場所にある確率は$\boxed{\text{⑤}}$である．