2016　関西大　後期　総合情報学部3月4日実施MathJax

【１】　平面上に原点$\mathrm{O}$とは異なる$2$点$\mathrm{P}(a^2,a)\text{，}\mathrm{Q}(b,b^2)$をとる．放物線$y=x^2$の点$\mathrm{Q}$における接線と$x$軸の交点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$は$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$となるように動いているとする．$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=p\overrightarrow{\mathrm{OP}}+q\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$と表す．

　次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

(2)　$a\text{，}b$の間に成り立つ関係式を求めよ．

(3)　$p\text{，}q$を$a$を用いて表せ．

(4)　点$(p,q)$が描く図形を図示せよ．

【２】　正の実数$a$に対して，関数

$f(x)=|3x^2+2ax-a^2|$

を考える．

　次の問いに答えよ．

(1)　$y=f(x)$のグラフの概形を描け．

(2)　直線$y=x+1$と$y=f(x)$が異なる$4$つの点で交わるような$a$の値の範囲を求めよ．

【３】　関数$f(x)$と自然数$n$に対して，数列$\{a_n\}$を次のように定める．

$a_1=0$

$a_{n+1}=a_n+{\displaystyle {\int }_n^{n+1}}f(x)dx\text{，}n\geqq 1$

　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$a_n$を$f(x)$の定積分を用いて表すと，$a_n=\boxed{\text{①}}$である．

(2)　$f(x)=2x$のとき，$a_n=\boxed{\text{②}}$である．

(3)　$f(x)=2x$のとき，数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和は$\boxed{\text{③}}$である．

(4)　$f(x)=2x$のとき，$4n(n-1)\leqq a_1+a_2+\cdots +a_n<5n(n-2)$を満たす$n$の値は$\boxed{\text{④}}$である．

(5)　$f(x)=x^2-{\displaystyle \frac{11}{2}}x$のとき，$a_n=\boxed{\text{⑤}}$である．

(6)　$f(x)=x^2-{\displaystyle \frac{11}{2}}x$のとき，$a_n$の最小値は$\boxed{\text{⑥}}$となり，そのときの$n$の値は$\boxed{\text{⑦}}$である．

【４】　$1$から$5$までの数が書かれたボール$5$個が袋にはいっている．袋からボールを取り出す試行を$3$回繰り返し，出た数を順に百の位，十の位，一の位に割り当てて，$3$桁の整数$n$をつくる．ただし，偶数が書かれたボールは奇数が書かれたボールに比べて$2$倍の確率で取り出されるものとし，一度取り出したボールは袋に戻さないものとする．例えば，$1$回目の試行で$1$が書かれたボールが取り出される確率は${\displaystyle \frac{1}{7}}$で，続けて$2$回目の試行で$2$が書かれたボールが取り出される確率は${\displaystyle \frac{1}{7}}\times {\displaystyle \frac{1}{3}}$となる．

　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$n=123$となる確率は$\boxed{\text{①}}$である．

(2)　$n=132$となる確率は$\boxed{\text{②}}$である．

(3)　$n$が偶数となる確率は$\boxed{\text{③}}$である．

(4)　$n$の各桁の数の和が$6$となる確率は$\boxed{\text{④}}$である．

(5)　$n$の各桁の数の和が$9$となる確率は$\boxed{\text{⑤}}$である．