2016　関西学院大　理工学部全学日程MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$a\text{，}b$を相異なる正の実数とする．$a^x=b^y={\displaystyle \frac{b}{a}}$のとき，$x\text{，}b$を$\log a\text{，}\log b$を用いて表すと$a=\boxed{\text{ア}}\text{，}y=\boxed{\text{イ}}$となり，$(1+x)(1-y)=\boxed{\text{ウ}}$が成り立つ．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　複素数$z=1+\sqrt{3}i$の絶対値は$\boxed{\text{エ}}$であり，$z$の偏角$\theta$は，$0\leqq \theta <2\pi$の範囲で考えると$\theta =\boxed{\text{オ}}$である．また，$z^9=\boxed{\text{カ}}$である．

【１】 　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(3)　${\displaystyle \frac{a}{2x^2+bx+c}}={\displaystyle \frac{d}{2x+1}}-{\displaystyle \frac{1}{x-2}}$が$x$についての恒等式となるように，定数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を定めると，$a=\boxed{\text{キ}}\text{，}b=\boxed{\text{ク}}\text{，}c=\boxed{\text{ケ}}\text{，}c=\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　$n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots$に対して

$a_n={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\sin }^{n}xdx$

とおくと$a_0={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}dx={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}{a}_1={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}\sin xdx=\boxed{\text{ア}}$である．

$n\geqq 2$のとき${({\sin }^{n-1}x)}^{\prime }$を$n$と$\sin x\text{，}\cos x$の式で表すと${({\sin }^{n-1}x)}^{\prime }=\boxed{\text{イ}}$である．${(\cos x{\sin }^{n-1}x)}^{\prime }$は$\cos x$を使わずに$n$と$\sin x$のみの式で表せて

${(\cos x{\sin }^{n-1}x)}^{\prime }=\boxed{\text{ウ}}$

となる．この両辺を$0$から${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$まで積分すると，

$a_n=\boxed{\text{エ}}{a}_{n-2}$（$\boxed{\text{エ}}$は$n$の式）　⋯ (＊)

が得られる．$a_0$と$a_1$の値が分かっているので，(＊)を用いれば$a_n\text{（}n\geqq 2\text{）}$の値はすべて計算できる．例えば$a_3=\boxed{\text{オ}}\text{，}{a}_4=\boxed{\text{カ}}$である．

また，$a_n=\boxed{\text{エ}}{a}_{n-2}$の両辺に$a_{n-1}$をかけて$b_n=n{a}_{n-1}{a}_n$とおくと，数列$\{b_n\}$がみたす漸化式$\boxed{\text{キ}}$が得られる．$a_0$と$a_1$の値から$b_1$の値が分かり，漸化式より$n\geqq 1$のとき一般項は$b_n=\boxed{\text{ク}}$である．

$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で$0\leqq \sin x\leqq 1$なので${\sin }^{n+1}x\leqq {\sin }^{n}x\leqq {\sin }^{n-1}x$であり，$a_{n+1}\leqq a_n\leqq a_{n-1}$が成り立つ．各辺に$n{a}_n$をかけて

$\boxed{\text{ケ}}{b}_{n+1}\leqq n{a_n}^2\leqq b_n$（$\boxed{\text{ケ}}$は$n$の式）

が分かる．以上より$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{n}{a}_n=\boxed{\text{コ}}$である．

【３】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　$\mathrm{O}$を原点とする$xyz$空間内の$4$点$\mathrm{A}(1,0,2)\text{，}\mathrm{B}(2,1,0)\text{，}\mathrm{C}(1,6,-1)\text{，}\mathrm{D}(2,3,1)$を考える．

線分$\mathrm{AB}$の長さは$\boxed{\text{ア}}\text{，}\cos \angle \mathrm{AOB}=\boxed{\text{イ}}$であり，$▵\mathrm{OAB}$の面積は$\boxed{\text{ウ}}$である．

$▵\mathrm{OAB}$を含む平面を$\alpha$とする．点$\mathrm{C}$から$\alpha$に下ろした垂線と$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおくと，$s=\boxed{\text{エ}}\text{，}t=\boxed{\text{オ}}$であり，線分$\mathrm{CH}$の長さは$\boxed{\text{カ}}$である．四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$\boxed{\text{キ}}$である．

点$\mathrm{D}$を通り，平面$\alpha$に平行な平面を$\beta$とする．$\beta$と直線$\mathrm{CH}$の交点を$\mathrm{E}$とすると，$\overrightarrow{\mathrm{CH}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$の内積は$\boxed{\text{ク}}$であり，$\mathrm{E}$は線分$\mathrm{CH}$を$\boxed{\text{ケ}}$の比に内分する．$\beta$と$▵\mathrm{ABC}$が交わってできる線分の長さは$\boxed{\text{コ}}$である．

【４】　$1$個のサイコロを$3$回投げ，出た目を順に$a\text{，}b\text{，}c$とする．

(1)　$a=b=c$となる確率を求めよ．

(2)　$(a-1)(b-1)(c-1)=0$となる確率を求めよ．

(3)　関数$f(x)=a{x}^2+2x-c$の最小値が$-5$より小さくなる確率を求めよ．

(4)　関数$f(x)=a{x}^2+2x-c$のグラフと$g(x)=c{x}^2$のグラフが異なる$2$点で交わる確率を求めよ．