2016　関西学院大　文系関学独自方式2月5日実施MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において$\mathrm{AB}=2\text{，}\mathrm{BC}=2\sqrt{6}\text{，}\cos \angle \mathrm{ABC}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}}$とする．このとき$\mathrm{AC}=\boxed{\text{ア}}\text{，}\cos \angle \mathrm{BAC}=\boxed{\text{イ}}$である．また$▵\mathrm{BCD}$の面積は$▵\mathrm{ABD}$の面積の$2$倍であるとする．このとき線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{E}$とすると$\mathrm{AE}=\boxed{\text{ウ}}\text{，}\mathrm{BE}=\boxed{\text{エ}}$であり，$\mathrm{BD}=\boxed{\text{オ}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$2$つの袋$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$があり，袋$\mathrm{A}$には$2\text{，}3\text{，}5\text{，}7$の番号がそれぞれ$1$つずつかかれた$4$個の玉が，袋$\mathrm{B}$には$1\text{，}4\text{，}6$の番号がそれぞれ$1$つずつ書かれた$3$個の玉が入っている．サイコロを$2$回投げ，投げるたびに，$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4$のいずれかの目が出たときは袋$\mathrm{A}$から$1$個玉を取り出し，$5\text{，}6$のいずれかの目が出たときは$\mathrm{B}$から$1$個玉を取り出すとする．ただし，$1$回目に取り出した玉は袋には戻さないとする．このとき，$2$回とも$\mathrm{A}$から玉を取り出す確率は$\boxed{\text{カ}}$である．また，$1$回目に取り出した玉の数字を十の位，$2$回目に取り出した玉の数字を一の位とした$2$桁の自然数を$X$とするとき，$X$の散り得る値は全部で$\boxed{\text{キ}}$個あり，$X$が偶数である確率は$\boxed{\text{ク}}\text{，}X$が$3$の倍数である確率は$\boxed{\text{ケ}}\text{，}X$が素数である確率は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$a$を実数として，$xy$平面上の円$x^2+y^2-6y-1-2a(2x-y-2)=0$を$C$とする．このとき，円$C$は$a$の値にかかわらず$2$点$P\text{，}\mathrm{Q}$を通る．点$\mathrm{P}$の$x$座標の値が点$\mathrm{Q}$の$x$座標の値より小さいとすると，$\mathrm{P}$の座標は$\boxed{\text{ア}}\text{，}\mathrm{Q}$の座標は$\boxed{\text{イ}}$である．ただし$\boxed{\text{ア}}\text{，}\boxed{\text{イ}}$は$(s,t)$の形で答えよ．また，円$C$の半径を$a$を用いて表すと$\boxed{\text{ウ}}$である．$a$の値が変化するとき，半径の最小値は$\boxed{\text{エ}}$であり，円$C$の中心は直線$y=\boxed{\text{オ}}$上を動く．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　数列$\{a_n\}$は，

$a_1=3\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{2n+3}{2n-1}}{a}_n+{\displaystyle \frac{1}{2n-1}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定められているとする．このとき，$b_n={\displaystyle \frac{a_n}{(2n-1)(2n+1)}}$とおくと，$b_{n+1}$は$b_n$を用いて

$b_{n+1}=b_n+{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{カ}}}}$

と表すことができる．ただし，$\boxed{\text{カ}}$は$n$の式である．よって，数列$\{b_n\}$の一般項は$b_n=\boxed{\text{キ}}$と表されることから，数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\boxed{\text{ク}}$である．さらに，数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$を$n$を用いて表すと$\boxed{\text{ケ}}$であり，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}k{a}_k$を$n$を用いて表すと$\boxed{\text{コ}}$である．

【３】　$2$つの関数$f(x)\text{，}g(x)$が$2$つの関係式

$f(x)=4x-5+{\displaystyle {\int }_0^2}g(t)dt\text{，}$

$g(x)=x^2-2x+{\displaystyle {\int }_a^x}f(t)dt$

を満たしている．ここで$a$は定数であり，$g(a)=-1$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　定数$a$の値を求めよ．

(2)　$2$つの関数$y=f(x)$と$g(x)$を求めよ．

(3)　直線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．