2016　西南学院大学　神,経済学部Ａ日程MathJax

【１】

1.　不等式$x^2-4<x+2$を満たす整数のうち最大のものは，$x=\boxed{\text{ア}}$である．

【１】

2.　$x$の方程式$4^x+2^{x+1}-k=0$が，$0\leqq x\leqq 1$に解をもつのは$\boxed{\text{イ}}\leqq k\leqq \boxed{\text{ウ}}$のときであり，また$k={\displaystyle \frac{21}{4}}$のときの解は$x={\log }_2\boxed{\text{エ}}-1$である．

【１】

3.　以下の計算をせよ．

(1)　${\displaystyle \sum _{k=0}^8}{}_{8}C_k=\boxed{\text{オカキ}}$

(2)　${\displaystyle \sum _{k=0}^8}{(-1)}^k{}_{8}C_k+{\displaystyle \sum _{k=0}^8}{}_{8}C_k=\boxed{\text{クケコ}}$

【２】

1.　$\mathrm{w}\text{，}\mathrm{w}\text{，}\mathrm{w}\text{，}\mathrm{r}\text{，}\mathrm{r}\text{，}\mathrm{b}$の$6$個の文字の中から，$3$個を選んでできる文字の組合せは全部で$\boxed{\text{サ}}$通りである．また，$3$個を選んで横一列に並べる順列は全部で$\boxed{\text{シス}}$通りである．

2.　白球$3$個，赤球$2$個，青球$1$個が入った箱がある．

(1)　この箱から$3$個を同時に取り出すとき，白球が$2$個，青球が$1$個取り出される確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソタ}}}}$であり，$3$個の中に青球が含まれている確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$である．

(2)　この箱から同時に取り出した$3$個を袋に入れる．そしてその袋から$1$個を取り出したら，青球であった．このとき，箱から取り出した$3$個が白球$1$個，赤球$1$個，青球$1$個である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}$である．

【３】

1.　$X_i\text{，}{Y}_i\text{（}i=1\text{，}2\text{，}3\text{）}$は実数とする．${X_1}^2+{X_2}^2+{X_3}^2\ne 0\text{，}{Y_1}^2+{Y_2}^2+{Y_3}^2\ne 0$のとき，

${(X_1{Y}_1+X_2{Y}_2+X_3{Y}_3)}^2\leqq ({X_1}^2+{X_2}^2+{X_3}^2)({Y_1}^2+{Y_2}^2+{Y_3}^2)\cdots \text{①}$

を以下の指示に従って，$2$通りの方法で証明せよ．

(1)　すべての実数$t$に対して，

${(t{X}_1-Y_1)}^2+{(t{X}_2-Y_2)}^2+{(t{X}_3-Y_3)}^2\geqq 0$

が成り立つことを利用して$\text{①}$を証明せよ．また等号が成り立つときの条件を示せ．

(2)　原点を$\mathrm{O}$とする$2$つのベクトル，

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(X_1,X_2,X_3)\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(Y_1,Y_2,Y_3)$

を考える．$\text{①}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$によって表せ．その上で，$\text{①}$を証明せよ．また等号が成り立つときの$2$つのベクトルの位置関係を示せ．

2.　対応する$2$つの変量$x\text{，}y$の値の組$(x_i,y_i)\text{（}i=1\text{，}2\text{，}3\text{）}$を考える．変量$x$の平均を$\bar{x}$とし，$x$の偏差を$X$とする．すなわち，$X_i=x_i-\bar{x}\text{（}i=1\text{，}2\text{，}3\text{）}$であり，変量$y$についても同様とする．また$x\text{，}y$の相関係数が定義できる場合を考え，これを$r$とする．このとき，上記$\text{①}$を用いて，

$-1\leqq r\leqq 1$

となることを示せ．