2016　西南学院大学　文,法学部Ａ日程MathJax

【１】

1.　下の文中の$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{ウ}}$にあてはまる言葉を次の$1\text{〜}4$の中から選べ．

$1$　必要条件であるが，十分条件ではない

$2$　十分条件であるが，必要条件ではない

$3$　必要十分条件である

$4$　必要条件でも十分条件でもない

(1)　四角形$\mathrm{ABCD}$がひし形であることは，四角形$\mathrm{ABCD}$が長方形であるための$\boxed{\text{ア}}$．

(2)　実数$a\text{，}b$について，$a-b<0$かつ$ab<0$であることは，$a<0$かつ$b>0$であるための$\boxed{\text{イ}}$．

(3)　$a\text{，}b\text{，}c$を任意の実数とするとき，$x$の方程式

$a{x}^2+bx+c=0\cdots \text{①}$

を考える．$b^2-4ac>0$であることは，$\text{①}$が$2$つの異なる実数解をもつための$\boxed{\text{ウ}}$．

【１】

2.　次の二進数で表された数の割り算の結果を，二進数で表すと，${1001110}_{(2)}÷{1101}_{(2)}={\boxed{\text{エオカ}}}_{(2)}$である．

【１】

3.　$a_1>0$とする．$a_{k+1}={\displaystyle \frac{a_k}{5a_k+1}}\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{，}n-1\text{）}$のとき，${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}}({\displaystyle \frac{1}{a_{k+1}}}-{\displaystyle \frac{1}{a_k}})=\boxed{\text{キ}}n-\boxed{\text{ク}}$である．ただし，$n$は$2$以上の整数とする．

【２】　$t$は正の定数とし，$w\text{，}u\text{，}v$を次のように定義する．

$w$は不等式$t<x<2t$を満たす整数$x$の個数

$u$は不等式$0<x<2t$を満たす整数$x$の個数

$v$は不等式$0<x\leqq t$を満たす整数$x$の個数

このとき，以下の問に答えよ．

(1)　次の選択肢$1\text{〜}2$のうち正しいのは$\boxed{\text{ケ}}$である．

1.　$u$は$2t$より大きい最小の整数である．

2.　$u$は$2t$以上の最小の整数である．

3.　$u$は$2t$より小さい最大の整数である．

4.　$u$は$2t$以下の最大の整数である．

(2)　次の選択肢$1\text{〜}4$のうち正しいのは$\boxed{\text{コ}}$である．

1.　$v$は$t$より大きい最小の整数である．

2.　$v$は$t$以上の最小の整数である．

3.　$v$は$t$より小さい最大の整数である．

4.　$v$は$t$以下の最大の整数である．

(3)　$0<t\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$u-v=\boxed{\text{サ}}$である．

(4)　任意の自然数$k$に対して，$k-{\displaystyle \frac{1}{2}}<t<k$のとき，$u-v=\boxed{\text{シ}}k-\boxed{\text{ス}}\text{，}t=k$のとき，$u-v=\boxed{\text{セ}}k-\boxed{\text{ソ}}\text{，}k<t\leqq k+{\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$u-v=\boxed{\text{タ}}k-\boxed{\text{チ}}$である．

(5)　$w=3$となるような定数$t$の範囲は，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}<t<\boxed{\text{ト}}$または$\boxed{\text{ト}}<t\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}$または$t=\boxed{\text{ヌ}}$である．

【３】

1.　$a\text{，}b$は実数で，$a^2+b^2\ne 0$とする．$\theta$を変数とする三角関数$a\sin \theta +b\cos \theta$を$A\sin (\theta +\alpha )$の形に変形するとき，$A\text{，}\sin \alpha \text{，}\cos \alpha$をそれぞれ$a\text{，}b$を用いて表せ．

【３】

2.　右図のように円周上に異なる$4$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$があり，弦$\mathrm{AB}$と弦$\mathrm{CD}$の延長が円外の点$\mathrm{P}$で交わっているとき，方べきの定理

$\mathrm{PA}\cdot \mathrm{PB}=\mathrm{PC}\cdot \mathrm{PD}$

が成り立つことを証明せよ．