2016　西南学院大学　人間科学部Ａ日程MathJax

【１】

1.　$x$の不等式$x>{\displaystyle \frac{1}{a}}x+a$の解が$x<-{\displaystyle \frac{1}{2}}$であるとき，実数$a$の値は$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$である．

【１】

2,　ある数は，三進法で表すと$n$桁で，すべての位の数が$1$である．この数を十進法で表すと，${\displaystyle \frac{{\boxed{\text{ウ}}}^n-1}{\boxed{\text{エ}}}}$となる．

【１】

3.　三角形$\mathrm{OAB}$について，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=3\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=2\sqrt{2}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=6$のとき，三角形$\mathrm{OAB}$の面積は$\boxed{\text{オ}}$である．

【２】　$2$つの変量$x\text{，}y$に関するデータが次のように与えられている．

　変量$x$のとる$5$個の値を$x_i\text{（}i=1\text{〜}5\text{）}$とし，$x$の平均を$\bar{x}\text{，}$分散を${s_x}^2$などとする．以下の問に答えよ．ただし，計算には次の結果を用いてよい．

${\displaystyle \sum _{i=1}^5}{x}_i=18\text{，}$${\displaystyle \sum _{i=1}^5}{x_i}^2=82\text{，}{\displaystyle \sum _{i=1}^5}{y}_i=22\text{，}$${\displaystyle \sum _{i=1}^5}{y_i}^2=126\text{，}$${\displaystyle \sum _{i=1}^5}{x}_i{y}_i=58$

(1)　$x$の中央値は$\boxed{\text{カ}}$であり，$\bar{x}=\boxed{\text{キ}}.\boxed{\text{ク}}\text{，}$${s_x}^2=\boxed{\text{ケ}}.\boxed{\text{コサ}}$である．

(2)　新しい変量$u$を$u=2x+3$と定めると，$\bar{u}=\boxed{\text{シス}}.\boxed{\text{セ}}$である．

(3)　$y$の分散${s_y}^2$を用いると${\displaystyle \sum _{i=1}^5}{y_i}^2=5\{{s_y}^2+{(\boxed{\text{ソ}}.\boxed{\text{タ}})}^2\}$と表せる．

(4)　変量$x\text{，}y$の値の組$(x_i,y_i)$を座標とする点を${\mathrm{P}}_i(x_i,y_i)$$\text{（}i=1\text{〜}5\text{）}$とする．$xy$平面上の直線$y=ax+b$について，${\mathrm{P}}_i$からこの直線に下ろした垂線の足を${\mathrm{Q}}_i$$\text{（}i=1\text{〜}5\text{）}$とする．点${\mathrm{P}}_i$と点${\mathrm{Q}}_i$の距離を${\mathrm{P}}_i{\mathrm{Q}}_i$とすると，

${\displaystyle \sum _{i=1}^5}{({\mathrm{P}}_i{\mathrm{Q}}_i)}^2$$={\displaystyle \frac{1}{a_2+1}}(82a^2+\boxed{\text{チ}}{b}^2$$+\boxed{\text{ツテ}}ab$$-116a-\boxed{\text{トナ}}b+126)$

である．

いま，$a=-1$のとき${\displaystyle \sum _{i=1}^5}{({\mathrm{P}}_i{\mathrm{Q}}_i)}^2$を$b$の関数とみると，${\displaystyle \sum _{i=1}^5}{({\mathrm{P}}_i{\mathrm{Q}}_i)}^2$は$b=\boxed{\text{ニ}}$のとき最小値$\boxed{\text{ヌ}}$をとる．

【３】　$xy$平面に$2$つの定点$\mathrm{A}(3,3)\text{，}\mathrm{B}(3m,0)$および動点$\mathrm{P}(x,y)$があり，それぞれの位置ベクトルを$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{p}$とする．いま，$\overrightarrow{p}$が$4(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})\cdot (\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})$$=(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{p}-\overrightarrow{b})$を満たすとき，$\mathrm{P}$の軌跡は円であり，これを円$C$とする．このとき以下の問に答えよ．

(1)　円$C$の方程式を求めよ．

(2)　点$\mathrm{B}$は円$C$の外部にあることを示せ．

(3)　点$\mathrm{B}$を通る直線$l$と円$C$が異なる$2$点$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$で交わっている．$\mathrm{BD}\cdot \mathrm{BE}=60$のとき$m$の値を求めよ．

（ヒント：方べきの定理を使ってもよい．）