2016　西南学院大学　全学部MathJax

【１】

1.　$x$の$2$次不等式$x^2-(a-3)x-3a<0$を満たす整数$x$がちょうど$3$個であるとき，実数$a$は， $-\boxed{\text{ア}}\leqq a<-\boxed{\text{イ}}$または$\boxed{\text{ウ}}<a\leqq \boxed{\text{エ}}$である．

【１】

2.　壷の中に数字$0$と数字$1$のいずれかが書かれた球が$100$個ある．これらのうち，$30$個は赤球，$40$個は青球，残りは黄球である．また，赤球のうち数字$1$が書かれた球の割合は$10\mathrm{\%}\text{，}$同様に青球は$40\mathrm{\%}\text{，}$黄球は$20\mathrm{\%}$である．いま壷の中から$1$個の球を選んだとき，書かれた数字は$0$であった．

この球が赤球である条件つき確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カキ}}}}$である．

【１】

3.　次の計算をせよ．

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{(4k-3)(4k+1)}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}n}{\boxed{\text{ケ}}n+1}}$

【２】　$3$点$\mathrm{A}(-\sqrt{3},-1)\text{，}\mathrm{B}(\sqrt{3},-1)\text{，}\mathrm{C}(0,2)$を通る円と，この円周上の点$\mathrm{P}(x,y)$がある（ただし，$-\sqrt{3}<x<\sqrt{3}$とする）．以下の問に答えよ．

(1)　円の方程式は${(x-\boxed{\text{コ}})}^2+{(y-\boxed{\text{サ}})}^2=\boxed{\text{シ}}$である．

(2)　$\angle \mathrm{APB}=\boxed{\text{スセ}}\mathrm{°}$または$\boxed{\text{ソタチ}}\mathrm{°}$（ただし$\boxed{\text{スセ}}\mathrm{°}<\boxed{\text{ソタチ}}\mathrm{°}$）である．

(3)　原点を$\mathrm{O}$とする．$▵\mathrm{PAB}$と$▵\mathrm{OAB}$の面積の比が$3:1$となるとき，$\angle \mathrm{PAB}=\boxed{\text{ツテ}}\mathrm{°}$である．

(4)　$\mathrm{P}$から線分$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{Q}$とし，線分$\mathrm{PQ}$を$\mathrm{Q}$の側に延長して円と交わる点を$\mathrm{T}$とするとき，${\mathrm{PQ}}^2+{\mathrm{TQ}}^2=\boxed{\text{ト}}\mathrm{AQ}\cdot \mathrm{BQ}+\boxed{\text{ナ}}$となる．

【３】

1.　円柱の体積を$V\text{，}$表面積を$S\text{，}$高さを$h\text{，}$底面の半径を$r$とするとき，以下の問に答えよ．

(1)　$V$を$h$と$r$で表せ．

(2)　$S$を$h$と$r$で表せ．

(3)　$S$が一定であるとき，$V$の最大値を求めよ．また$V$が最大となるときの$r$と$h$を求めよ．

【３】

2.　$n$が整数のとき，$n(n+2)(5n+2)$は$3$の倍数であることを証明せよ．