2016　西南学院大学　商,国際文化学部A日程MathJax

【１】

1.　下の文中の$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{ウ}}$にあてはまる言葉を次の$1\text{〜}4$の中から選べ．

$1$　必要条件であるが，十分条件ではない

$2$　十分条件であるが，必要条件ではない

$3$　必要十分条件である

$4$　必要条件でも十分条件でもない

(1)　実数$a\text{，}b\text{，}c$について，$ac>bc$であることは，$a>b$であるための$\boxed{\text{ア}}$．

(2)　整数$m$が$6$の倍数であることは，$m$が$3$の倍数であるための$\boxed{\text{イ}}$．

(3)　平面$T$上の点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$が相異なる$3$点であることは，$T$上の任意の点$\mathrm{X}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OX}}=a\overrightarrow{\mathrm{OA}}+b\overrightarrow{\mathrm{OB}}$（$a\text{，}b$は実数）と表されるための$\boxed{\text{ウ}}$．

【１】

2.　曲線$C\text{：}y=x^3$がある．$C$上の点$\mathrm{A}(a,a^3)$における接線$l$の方程式は，

$l\text{：}y=\boxed{\text{エ}}{a}^{\boxed{\text{オ}}}x-\boxed{\text{カ}}{a}^{\boxed{\text{キ}}}$

である．また$l$と$C$が点$\mathrm{A}$以外で交点をもつとき，交点の$y$座標は$\boxed{\text{クケ}}{a}^{\boxed{\text{コ}}}$である．

【１】

3.　数列$\{a_n\}$は$a_1=5$で，次の漸化式を満たしている．

$a_{n+1}=3a_n-8\text{（}n=\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき一般項$a_n$は，

$a_n=3^{\boxed{\text{サ}}n-\boxed{\text{シ}}}+4$

であり，$a_n\geqq 100$を満たす最小の整数$n$は$\boxed{\text{ス}}$である．

【２】　$2$つの袋$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$がある．$\mathrm{A}$の袋には赤球$8$個，白球$2$個，$\mathrm{B}$の袋には赤球$6$個，白球$4$個が入っている．以下の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の袋から$1$つずつ球を取り出したとき，$2$つの球が同じ色である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セソ}}}{\boxed{\text{タチ}}}}$である．

(2)　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の袋から$1$つずつ球を取り出し，$\mathrm{A}$から取り出した球を$\mathrm{B}$に，$\mathrm{B}$から取り出した球を$\mathrm{A}$に入れる．このとき，$\mathrm{A}$の袋の中の赤球の数が変わる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツテ}}}{\boxed{\text{トナ}}}}$である．

(3)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$いずれかの袋から白球が$1$つ転がり出た．この白球が$\mathrm{A}$の袋から出た確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$である．

(4)　(3)で転がり出た白球をもとに戻さず，$\mathrm{B}$の袋から球を$1$つ取り出すとき，その球が白球である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネノ}}}{\boxed{\text{ハヒ}}}}$である．

【３】　円周の長さと直径の比は円の大きさによらず一定である．この比の値は$\pi$で表されるが，紀元前$3$世紀にはアルキメデスが円に内接する正多角形と外接する正多角形の周の長さを用いて，$\pi$が$3{\displaystyle \frac{10}{71}}$と$3{\displaystyle \frac{1}{7}}$の間に収まることを示している．すなわち，今から$2000$年以上前に，

$3.1408<\pi <3.1429$

となることが示されていた．

　我々もアルキメデスの手法にならい，$\pi$の値について考えてみよう．必要な場合は，$\sqrt{2}=1.414\text{，}\sqrt{3}=1.732$として計算せよ．

(1)　$2.828<\pi <4$を証明せよ．

(2)　直径$1$の円に内接する正$n$角形の周の長さ$P_n$によって$\pi$の値を近似的に求めたい．

ⅰ)　$P_n=n\sin {\displaystyle \frac{180\mathrm{°}}{n}}$となることを示せ．

ⅱ)　$P_{12}$を求めよ．また$P_{12}$を小数で計算せよ．ただし，答えは小数第$3$位を四捨五入して，小数第$2$位まで求めよ．

ⅲ)　アルキメデスが$\pi$の値の計算に用いたものが，正$n$角形だったとするとき，$n$と$12$はどちらが大きいか．簡単な理由もつけること．